57 3.4 Funktionsverlauf und höhere Ableitungen Hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen mit der 2. Ableitung R Wir wissen bereits: Für das Vorliegen einer lokalen Extremstelle p einer Polynomfunktion f ist die Bedingung f’ (p) = 0zwar notwendig, aber nicht hinreichend. Man erhält jedoch eine hinreichende Bedingung, wenn man neben f’ (p) = 0eine zusätzliche Voraussetzung verlangt. Wir betrachten dazu die folgenden beiden Abbildungen: f f (x) p x l x p f l f (x) Aufgrund dieser Abbildungen kann man vermuten: • Ist f’ (p) = 0und f’’ (x) < 0für alle x * I(dh. f ist rechtsgekrümmt in I), dann ist p eine lokale Maximumstelle von f. • Ist f’ (p) = 0und f’’ (x) > 0für alle x * I(dh. f ist linksgekrümmt in I), dann ist p eine lokale Minimumstelle von f. Man kann sogar mehr beweisen. Es muss nicht verlangt werden, dass die Zusatzvoraussetzung f’’ (x) < 0bzw. f’’ (x) > 0im ganzen Intervall I gilt. Es genügt, dass diese Voraussetzung an der Stelle p erfüllt ist. Es gilt nämlich der folgende Satz, den wir ohne Beweis anführen: Satz (Hinreichende Bedingung für eine lokale Extremstelle mithilfe der 2. Ableitung) Ist f: A ¥ R eine Polynomfunktion, I a Aein Intervall und p eine innere Stelle von I, dann gilt: (1) f’ (p) = 0 ? f’’ (p) < 0 w p ist lokale Maximumstelle von f (2) f’ (p) = 0 ? f’’ (p) > 0 w p ist lokale Minimumstelle von f 3.24 Ermittle mithilfe des eben angeführten Satzes die lokalen Extremstellen der Funktion f: R ¥ R mit f (x) = x 3 + 3 x2 – 4! LÖSUNG f’ (x) = 3 x 2 +6x=0 É x = – 2 = x = 0 f’’ (x) =6x+6 Mit dem obigen Satz ergibt sich: f’ (– 2) = 0 ? f’’ (– 2) =–6<0 w – 2 ist lokale Maximumstelle von f f’ (0) = 0 ? f’’ (0) = 6 > 0 w 0 ist lokale Minimumstelle von f 3.25 Ermittle mithilfe des obigen Satzes die lokalen Extremstellen der Funktion f: R ¥ R! a) f (x) = 1 _ 3 x 2 – 2x + 3 d) f (x) = x 4 – x 2 g) f (x) = x 4 + x 2 b) f (x) = – 1 _ 8 x 2 + x – 2 e) f (x) = x 3 – 3 x2 – 9x + 11 h) f (x) = 2 x3 –6x+2 c) f (x) = x 3 – 27 x f) f (x) = x 4 – 2 x2 + 1 i) f (x) = x 5 – 5 x 3.26 Es sei f: R ¥ R und f’ (– 2) = 0. Kreuze zwei mögliche Bedingungen dafür an, dass – 2mit Sicherheit eine lokale Minimumstelle von f ist! f (– 2) = 5 f’’ (– 2) = 1 f’’ (– 2) = 0 f’’ (– 2) = – 1 f’’ (– 2) = 4 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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