59 3.4 Funktionsverlauf und höhere Ableitungen 3.27 Ermittle ohne Technologieeinsatz die Wendestellen der Funktion f: R ¥ R mit f (x) = x 3 – 6 x2 + 9 x – 4! Gib außerdem die Koordinaten der Wendepunkte sowie Gleichungen der Wendetangenten an! LÖSUNG Ableitungen von f mit f (x) = x 3 – 6 x2 +9x–4 f’ (x) = 3 x2 – 12x + 9 f’’ (x) = 6x – 12 f’’’ (x) = 6 • Aufgrund der notwendigen Bedingung für Wendestellen kommen als Wendestellen von f nur die Nullstellen von f’’in Frage. Daher ermitteln wir diese: f’’ (x) = 0 É 6x–12=0 É x=2 Mit der hinreichenden Bedingung für Wendestellen ergibt sich: f’’ (2) = 0 ? f’’’ (2) = 6 ≠ 0 w 2 ist Wendestelle von f • Wendepunkt: W = (2 1 f (2)) = (2 1 – 2) • Steigung der Wendetangente: k = f’ (2) = – 3 Setzt man nun k = – 3und W = (2 1 – 2), dh. x = 2und y = – 2, in die Gleichung y = k · x + dder Wendetangente t ein, ergibt sich: – 2 = – 3 · 2 + d w d = 4 • Gleichung der Wendetangente t: y = – 3 x + 4oder t: 3 x + y = 4 Mit Technologieeinsatz lassen sich solche Aufgaben ebenso lösen. Gibt man eine Termdarstellung ein, erhält man ein Bild des Graphen. Durch geeignete Befehle erhält man Wendepunkte und Wendetangenten. 3.28 Nebenstehend ist eine Polynomfunktion vom Grad 4 dargestellt. 1) Lies aus dem Graphen die Nullstellen, die lokalen Extremstellen und die Wendestellen von f ab! 2) Gib die Monotoniebereiche von f sowie die jeweilige Art der Monotonie an! 3) Gib die Krümmungsbereiche von f sowie die jeweilige Art der Krümmung an! 4) Besitzt f eine Terrassenstelle? Wenn ja, gib diese an! 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 –1 –2 f –5 –4 –3 –2 –1 x f (x) 3.29 Ermittle die Krümmungsbereiche und Wendestellen der Funktion f und gib die Koordinaten der Wendepunkte sowie Gleichungen der Wendetangenten an! a) f (x) = x 3 – x 2 + 2 g) f (x) = (x – 3) (x + 2) (x – 4) b) f (x) = x 3 – 4x + 4 h) f (x) = x 4 + x 3 c) f (x) = x 3 – x 2 + x + 1 i) f (x) = 3 x3 – 9 x2 +2x–1 d) f (x) = (x – 6) (x + 3) (x – 3) j) f (x) = x 3 – 6 x2 +8x+7 e) f (x) = – 2 x 3 + 3 x2 k) f (x) = x 4 + 4 x3 – 18 x 2 + 12 x f) f (x) = x 3 – x + 1 l) f (x) = x 4 + 3 x3 + 3 x2 – x – 5 kompakt S. 82 AUFGABEN R Ó Arbeitsblatt s789ws Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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