60 3 UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN 3.30 Kreuze an, welche Eigenschaften auf eine Polynomfunktion f: R ¥ R unter der angegebenen Bedingung jeweils zutreffen müssen! f (0) = 0 f(0) ≠ 0 f’ (0) = 0 f’ (0) ≠ 0 f’’ (0) = 0 f’’ (0) ≠ 0 0 ist lokale Extremstelle von f. 0 ist globale Extremstelle von f. 0 ist Terrassenstelle von f. 0 ist Wendestelle von f. 0 ist Nullstelle von f. (0 1 5) ist Wendepunkt. (0 1 – 1) ist Terrassenpunkt. (0 1 0) ist Tiefpunkt. 3.31 Untersuche die Polynomfunktion f: R ¥ R in Hinblick auf Monotonie, Krümmung, Hoch- und Tiefpunkte, Terrassenpunkte und Wendepunkte! Skizziere den Graphen von f! a) f (x) = x 4 + 2 x2 c) f (x) = 1 _ 9 x 4 – 2 x2 e) f (x) = 3 (3 x 4 + 4 x3) b) f (x) = 2 x4 – x d) f (x) = – 1 _ 6 x 4 + x 2 f) f (x) = 1 _ 64 (x 4 + 8 x3) 3.32 Untersuche die Polynomfunktion f: R ¥ R in Hinblick auf Monotonie, Krümmung, Hoch- und Tiefpunkte, Terrassenpunkte und Wendepunkte! Skizziere den Graphen von f! a) f (x) = x 3 + 6 x c) f (x) = – x3 + 3 x2 – 3 x e) f (x) = 3 x3 – 9 x2 + 9 x b) f (x) = x 3 – 12x + 8 d) f (x) = 5 x3 + 15 x 2 + 5 f) f (x) = – (x – 1) 3 3.33 Gegeben ist eine Polynomfunktion f: R ¥ R. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! p ist lokale Extremstelle von f w f’ (p) = 0 f’ (p) = 0 w p ist lokale Extremstelle von f f’’ (p) = 0 w p ist Wendestelle von f p ist Wendestelle von f w f’’ (p) = 0und f’’’ (p) ≠ 0 p ist Terrassenstelle von f w f’ (p) = 0 3.34 Zeige, dass die einzige Wendestelle der Polynomfunktion f: R ¥ R mit f (x) = a (x – x 1)(x – x 2)(x – x 3) und a ≠ 0das arithmetische Mittel der Nullstellen von f ist! 3.35 1) Zeige: Der Graph einer Polynomfunktion f: R ¥ R mit f (x) = a x3 + b x2 + cx + dund a ≠ 0hat genau einen Wendepunkt. 2) Gib eine Beziehung zwischen den Koeffizienten a, b, c und d an, sodass dieser Wendepunkt ein Terrassenpunkt ist! 3.36 Gib eine Beziehung zwischen den Koeffizienten an, sodass der Graph der Polynomfunktion f: R ¥ R mit f (x) = a x4 + b x3 + c x2 + d x + eund a ≠ 0 1) genau zwei Wendepunkte, 2) keinen Wendepunkt hat! 3.37 Zeige: Der Graph der Funktion f: R ¥ R mit f (x) = 0, 3 x5 – 8 x3 + 10 x + 1hat genau drei Wendepunkte. 3.38 Zeige, dass die Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit f (x) = 3 x5 – 10 x 3 + 7auf einer Geraden liegen! Ó Lernapplet 9b7sa2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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