61 3.5 Eigenschaften von Polynomfunktionen 3.5 Eigenschaften von Polynomfunktionen Symmetrie R 3.39 Zeige und überprüfe anhand des Graphen! a) Der Graph der Funktion f mit f (x) = 1 _ 2 x 4 + x 2 ist symmetrisch bezüglich der 2. Achse. b) Der Graph der Funktion f mit f (x) = x 3 – 3 xist symmetrisch bezüglich des Ursprungs. LÖSUNG a) f (– x) = 1 _ 2 (– x) 4 + (– x) 2 = 1 _ 2 x 4 + x 2 = – f (x) b) f (– x) = (– x) 3 – 3 (– x) = – x3 + 3x = –f(x) –2 –1 0 1 2 f(x) 1 2 3 4 x f –2 –1 0 1 2 f(x) 2 x f –1 –2 1 Wir erinnern uns (vgl. Mathematik verstehen 6, Seite 50): Definition Eine reelle Funktion f: A ¥ R heißt • gerade, wenn für alle x * Agilt: f (– x) = f (x) • ungerade, wenn für alle x * Agilt: f (– x) = – f (x) Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch bezüglich der 2. Achse. Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs O. 3.40 Eine Funktion f kann gerade oder ungerade oder keines von beidem sein. Kreuze die beiden Funktionsgleichungen an, für die f gerade oder ungerade ist! f (x) = x 3 f (x) = x 2 – x f (x) = x 3 – x 2 f (x) = x 3 – 1 f (x) = – x 2 + 1 3.41 Begründe: Treten bei einer Polynomfunktion f im Funktionsterm f (x) nur Potenzen von x mit gerader Hochzahl auf, dann ist der Graph von f symmetrisch bezüglich der zweiten Achse. 3.42 Zeige: Eine Polynomfunktion f vom Grad 3, deren Graph symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs O ist, muss von der Form f (x) = a x3 + c xmit a ≠ 0sein. HINWEIS Der Koordinatenursprung O ist ein Wendepunkt. 3.43 Der Graph einer Polynomfunktion f sei symmetrisch a) bezüglich der Geraden x = p, b) bezüglich des Punktes (p 1 f (p)). Deute den Punkt (p 1 f (p))! Ó Applet 9b9a2j AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==