62 3 UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN Verhalten für x gegen ± ∞ R Definition Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion. Man schreibt • lim x ¥ • f (x) = q, wenn sich f (x) mit unbegrenzt wachsendem x unbegrenzt der Zahl q nähert, • lim x ¥ • f (x) = •, wenn f (x) mit unbegrenzt wachsendem x jede noch so große Schranke überschreitet, • lim x ¥ • f (x) = – •, wenn f (x) mit unbegrenzt wachsendem x jede noch so kleine Schranke unterschreitet. Analoge Definitionen gelten für lim x ¥ – • f (x) = q, lim x ¥ – • f (x) = • und lim x ¥ – • f (x) = – •. 3.44 Sei f eine Polynomfunktion der Form f (x) = a x3 + b x2 + c x + dmit a ≠ 0. Begründe: (1) Für a > 0gilt: lim x ¥ • f (x) = • und lim x ¥ – • f (x) = – • (2) Für a < 0gilt: lim x ¥ • f (x) = – • und lim x ¥ – • f (x) = • LÖSUNG (1) a x 3 + b x2 +cx+d=x3 (a + b _ x + c _ x 2 + d _ x 3 ). Wenn x unbegrenzt wächst, nähert sich der Term in Klammern unbegrenzt der Zahl a > 0und x3 überschreitet jede noch so große Schranke. Somit überschreitet auch f (x) jede noch so große Schranke. (2) Führe den Beweis selbst! 3.45 Sei f eine Polynomfunktion der Form f (x) = a x4 + b x3 + c x2 + d x + emit a ≠ 0. Begründe: a) Für a > 0gilt: lim x ¥ • f (x) = lim x ¥ – • f (x) = • b) Für a < 0gilt: lim x ¥ • f (x) = lim x ¥ – • f (x) = – • 3.46 Ermittle die Nullstellen von f und untersuche das Verhalten von f für x ¥ – • und x ¥ •! a) f (x) = x 3 + x 2 – 6 x b) f (x) = – x3 – 2 x2 – 3 x c) f (x) = – x4 + x 3 + 12 x 2 Typische Formen der Graphen von Polynomfunktionen R 3.47 BEWEISE (1) Eine Polynomfunktion vom Grad n º 1hat höchstens n – 1lokale Extremstellen. (2) Eine Polynomfunktion vom Grad n º 2hat höchstens n – 2Wendestellen. LÖSUNG f (x) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a0 (a n ≠ 0) f’ (x) = n an x n − 1 + (n – 1) a n − 1 x n − 2 +…+2a 2 x + a1 f’’ (x) = n (n – 1) a n x n − 2 + (n – 1) (n – 2) a n − 1 x n − 3 +…+2a 2 Da f’vom Grad n – 1und f’’vom Grad n – 2ist, hat f’höchstens n – 1und f’’höchstens n – 2Nullstellen. Somit hat f höchstens n – 1lokale Extremstellen und höchstens n – 2 Wendestellen. Die Ergebnisse der letzten Aufgabe und die vorangegangenen Überlegungen zur Symmetrie lassen einige Aussagen über typische Formen der Graphen von Polynomfunktionen zu. AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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