64 3 UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN 3.6 Aufsuchen von Polynomfunktionen Ermitteln einer Termdarstellung aufgrund von Bedingungen R 3.49 Der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 3 hat T = (3 1 1) als Tiefpunkt und die Steigung der Tangente im Punkt P = (0 1 1) beträgt 3. Ermittle eine Termdarstellung dieser Funktion! LÖSUNG Die gesuchte Termdarstellung hat die Form: f (x) = a x 3 + b x2 +cx+d Die Ableitung lautet: f’ (x) = 3a x2 + 2bx + c Zum Ermitteln der Koeffizienten a, b, c, d entnimmt man dem Text vier Bedingungen: 1. Bedingung: Der Graph geht durch T = (3 1 1), dh. f (3) = 1. w 27a+9b+3c+d=1 2. Bedingung: Der Graph geht durch P = (0 1 1), dh. f (0) = 1. w d = 1 3. Bedingung: 3 ist lokale Minimumstelle von f, dh. f’ (3) = 0. w 27a+6b+c=0 4. Bedingung: Die Steigung von f bei 0 ist 3, dh. f’ (0) = 3. w c = 3 Insgesamt erhalten wir somit folgendes Gleichungssystem: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 27a+9b+3c+d=1 d = 1 27a+6b+ c = 0 c = 3 Löse dieses Gleichungssystem selbst! Es ergibt sich: a = 1 _ 3 , b = –2, c = 3,d = 1 Folglich lautet die Termdarstellung von f: f (x) = 1 _ 3 x 3 – 2 x 2 +3x+1 Führe die Probe selbst durch! Überprüfe dabei, ob alle Bedingungen der Angabe erfüllt sind! 3.50 Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 2 hat den Tiefpunkt T = (2 1 – 2). Die Steigung der Tangente an der Stelle 0 beträgt – 3. Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f! 3.51 Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 2 hat den Hochpunkt H = (1 1 2). Die Steigung der Tangente an der Stelle 4 beträgt – 6. Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f! 3.52 Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 2 verläuft durch den Punkt P = (0 1 1) und hat den Tiefpunkt T = ( 1 _ 3 | 2 _ 3 ). Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f! 3.53 Die Gerade t: x + y + 4 = 0ist Tangente an den Graphen von f: x ¦ a x 2 + b x + 1im Punkt P = (– 1 1 – 3). Ermittle a und b! 3.54 Der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 3 hat den Hochpunkt H = (0 1 2) und den Tiefpunkt T = (4 1 – 30). Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f sowie den Wendepunkt des Graphen von f! 3.55 Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 hat den Hochpunkt H = (0 1 3) und den Wendepunkt W = (1 1 1). Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f! Ermittle weiters den Tiefpunkt des Graphen von f! Zeichne den Graphen der Funktion f! kompakt S. 82 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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