67 3.6 Aufsuchen von Polynomfunktionen 3.75 Die Form eines zwischen zwei gleich hohen Aufhängepunkten A und B verlaufenden Seils lässt sich annähernd durch eine Polynomfunktion vom Grad 2 beschreiben, wenn der „Durchhang“ d klein im Vergleich zur „Spannweite“ s ist. In nebenstehender Abbildung sei s = 36und d = 5(beides in Meter). a) Berechne die Steigungen des Seils in den Aufhängepunkten A und B! b) Berechne das Maß α der Winkel, die das Seil in den Aufhängepunkten A und B mit der Horizontalen einschließt! c) Berechne den Betrag der Zugkraft Z in jeweils einem Aufhängepunkt, wenn das Gewicht des Seils G = 500 N(Newton) beträgt. HINWEIS Das Gewicht verteilt sich je zur Hälfte auf die beiden Aufhängepunkte. 3.76 Das Drahtseil einer Seilbahn überbrückt einen Graben von 100 m Breite bei einem Höhenunterschied von 25 m. Seine Form kann näherungsweise durch eine Polynomfunktion vom Grad 2 beschrieben werden. Im unteren Aufhängepunkt A hat f die Steigung – 1 _ 4 . a) Gib eine Termdarstellung dieser Polynomfunktion an! b) Ermittle die Stelle, an welcher das Seil am tiefsten ist, und gib an, wie tief es dort unter dem Aufhängepunkt A liegt! c) Ermittle die Stelle, ab der das Seil mindestens so hoch wie A ist! d) Ermittle das Maß des Winkels β, unter dem das Seil im oberen Aufhängepunkt B zur Horizontalen geneigt ist! Angabe von Bedingungen für Koeffizienten 3.77 Gib eine Bedingung für a, b und c an, sodass die Ableitung der Polynomfunktion f: R ¥ R mit f (x) = a x3 + b x2 + cx + dund a ≠ 0 a) keine Nullstelle, b) genau eine Nullstelle, c) genau zwei Nullstellen hat! 3.78 Ermittle a, sodass die Stelle 6 eine lokale Extremstelle der Polynomfunktion f: R ¥ R mit f (x) = x 3 · (a – x) ist! Zeichne den Graphen von f! Für welche x * R ist f (x) < 0? 3.79 Gib jene Werte von p und q an, für die der Graph der Polynomfunktion f: R ¥ R 1 x ¦ x3 +px+q 1) einen Hoch- und einen Tiefpunkt, 2) einen Terrassenpunkt, 3) weder lokale Extrempunkte noch Terrassenpunkte hat! 3.80 Gib eine Beziehung zwischen den Koeffizienten a, b und c an, sodass der Graph der Polynomfunktion f: R ¥ R mit f (x) = a x3 + b x2 + cx + dund a ≠ 01) lokale Extrempunkte, 2) einen Terrassenpunkt, 3) weder lokale Extrempunkte noch einen Terrassenpunkt hat! 3.81 Gib eine Bedingung für die Koeffizienten a und b der Polynomfunktion f: R ¥ R mit f (x) = a x6 + b x4 und a ≠ 0an, sodass f zwei Wendestellen hat! HINWEIS Überlege, dass der Graph von f symmetrisch zur 2. Achse ist und dass daher 0 keine Wendestelle von f sein kann! A α α B s d Z B G 2 0 = A β B 100 25 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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