77 3.8 Extremwertaufgaben BEACHTE Man könnte die Maximumstelle von A in [ 0; 50 ] auch so ermitteln: A’ (x) =–2x+50=0 É x=25 A’’ (x) = – 2 w A’’ (25) =–2<0 w 25ist lokale (!) Maximumstelle der Funktion A. Da A eine Polynomfunktion vom Grad 2 ist, ist die lokale Maximumstelle 25 automatisch auch eine globale Maximumstelle von A im Intervall [ 0; 50 ]. Dieser „Kurzschluss“ funktioniert aber nur, weil die Funktion A eine Polynomfunktion vom Grad 2 ist. Bei Polynomfunktionen von höherem Grad hingegen kann das globale Maximum auch an den Randstellen des Intervalls angenommen werden. Deshalb ist es im Allgemeinen ratsam, wie in der vorangegangenen Aufgabe ohne Verwendung der zweiten Ableitung vorzugehen. Aufgabe 3.97 ist ein Beispiel für eine Extremwertaufgabe. Dabei geht es darum, eine bestimmte Größe unter vorgegebenen Bedingungen möglichst groß oder möglichst klein zu machen. Zweckmäßigerweise geht man dazu in folgenden Schritten vor: Vorgehen bei der Lösung einer Extremwertaufgabe mit Hilfe der ersten Ableitung Allgemein Beispiel (vgl. Aufgabe 3.97) 1. Schritt: „Zielgröße” festlegen: Welche Größe soll maximal bzw. minimal werden? Flächeninhalt A 2. Schritt: Zielgröße als Funktion mehrerer Variablen anschreiben (Hauptbedingung)! A (x, y) = x · y Schreibe nicht nur A = x · y! 3. Schritt: Nebenbedingung(en) anhand des Textes suchen und alle Variablen durch eine ausdrücken! 2x + 2y =100 w y=–x+50 4. Schritt: Ergebnis in den Term der Hauptbedingung einsetzen und die erhaltene Zielfunktion in einer Variablen anschreiben! Definitionsbereich angeben! A (x) = x · (– x + 50) = – x 2 + 50 x (0 ª x ª 50) 5. Schritt: Nullstellen der 1. Ableitung dieser Funktion berechnen! Ein Vergleich der Werte an diesen Stellen mit den Werten an den Randstellen des Definitionsbereichs liefert die gesuchte Extremstelle im Definitionsbereich. A’ (x) =–2x+50=0 É x = 25 A (0) = 0, A (25) = 625, A (50) = 0 25 ist Maximumstelle von A im Intervall [ 0; 50 ]. 3.98 Ermittle zwei Zahlen x und y mit der Summe 93 so, dass x y2 möglichst groß wird! 3.99 Eine Strecke der Länge s ist so in zwei Teile zu teilen, dass das Produkt der Längen der beiden Teilstrecken möglichst groß wird. Gib das Teilungsverhältnis an! 3.100 Eine Strecke der Länge s ist so in zwei Teile zu teilen, dass die Summe der Quadrate der Längen der beiden Teilstrecken möglichst klein wird. Gib das Teilungsverhältnis an! 3.101 Welches Rechteck mit dem Umfang u hat den größten Flächeninhalt? AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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