79 3.8 Extremwertaufgaben Vereinfachen der Zielfunktion L Satz (1) Die Funktionen f: A ¥ R 1 x ¦ f (x)und ‾f : A ¥ R 1 x ¦ c · f (x)mit c > 0haben die gleichen Extremstellen in A. (2) Nimmt die Funktion f in A nur nichtnegative Werte an, dann haben die Funktionen f: A ¥ R 1 x ¦ f (x)und ‾f : A ¥ R 1 x ¦ [f (x)]2 die gleichen Extremstellen in A. BEWEIS Wir führen die Beweise für Maximumstellen. Für Minimumstellen verlaufen die Beweise analog. (1) p ist Maximumstelle von f in A É f (x) ª f (p) für alle x * A É c · f (x) ª c · f (p) für alle x * A É ‾f (x) ª ‾f (p) für alle x * A É pist Maximumstelle von ‾f in A (2) p ist Maximumstelle von f in A É 0 ª f (x) ª f (p) für alle x * A É [ f (x) ] 2 ª [ f (p) ] 2 für alle x * A É ‾f (x) ª ‾f (p) für alle x * A É pist Maximumstelle von ‾f in A Merke • I m Term einer Zielfunktion darf ein positiver Faktor weggelassen werden. • D er Term einer im Definitionsbereich nichtnegativen Zielfunktion darf quadriert werden. 3.113 Ein Rechteck vom Umfang 2 dreht sich um eine seiner Seiten. Berechne die Seitenlängen des Rechtecks so, dass der Inhalt der Mantelfläche des entstehenden Drehzylinders möglichst groß wird! LÖSUNG • H auptbedingung: M (x, y) = 2 π x · y • Nebenbedingung: 2 x + 2 y = 2 É y=–x+1 • Z ielfunktion M: M (x) = 2 π x (– x + 1) (0 ª x ª 1) • Wir lassen den positiven Faktor 2 π weg. v ereinfachte Zielfunktion ‾M : ‾M (x) = x (– x + 1) = – x2 + x (0 ª x ª 1) ‾M ’ (x) =–2x+1=0 É x = 1 _ 2 ‾M (0) = 0, ‾M ( 1 _ 2 ) = 1 _ 4 , ‾M (1) = 0 Somit ist x = 1 _ 2 eine globale Maximumstelle von ‾Mund damit auch von M. • Aus der Nebenbedingung ergibt sich: y = – 1 _ 2 +1= 1 _ 2 . Somit gilt: Das gesuchte Rechteck ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 _ 2 . 3.114 Welches unter allen einem Kreis vom Radius r eingeschriebenen Rechtecken hat den größten Flächeninhalt? LÖSUNG • H auptbedingung: A (x, y) = x · y • N ebenbedingung: x2 + y 2 = 4 r2 É y = � _______ – x 2 + 4 r2 (da y º 0) • Z ielfunktion A: A (x) = x � _______ – x 2 + 4 r 2 • Weil stets A (x) º 0ist, dürfen wir A (x) quadrieren. v ereinfachte Zielfunktion ‾A : ‾A (x) = x 2 · (– x 2 + 4 r 2) = – x 4 + 4 r 2 x 2 (0ªxª2r) ‾A ’ (x) = –4x3 + 8 r 2 x = 0 É 4 x · (– x 2 + 2 r 2) = 0 É x = 0 = x = r � __ 2 ‾A (0) = 0, ‾A (r � __ 2 ) = 4 r 4, ‾A (2 r) = 0 Daher ist x = r � __ 2eine globale Maximumstelle von ‾Aund damit auch von A. • Aus der Nebenbedingung ergibt sich: y = � ________ – 2 r 2 + 4 r 2 = r � __ 2. Daher gilt: Das gesuchte Rechteck ist ein Quadrat mit der Seitenlänge r � __ 2 . x y x y 2r Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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