80 3 UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN Aufgaben mit dem pythagoräischen Lehrsatz 3.115 Die Tragfähigkeit T eines quaderförmigen Balkens ist direkt proportional zur Breite b und zum Quadrat der Höhe h, also T = c · b · h 2, wobei c eine positive Konstante ist, die vom Material abhängt. Ein Balken soll aus einem zylindrischen Stamm vom Durchmesser d = 48 cmgeschnitten werden. Berechne die Breite und die Höhe des Balkens so, dass dessen Tragfähigkeit möglichst groß wird! LÖSUNG • Der Querschnitt des Zylinders ist ein Kreis mit dem Durchmesser 48. Der Querschnitt des Balkens ist ein Rechteck, das diesem Kreis eingeschrieben ist. Die Breite b und die Höhe h dieses eingeschriebenen Rechtecks können verändert werden. In der folgenden Abbildung sind einige eingeschriebene Rechtecke dargestellt, wobei auch die beiden Extremfälle b = 0 und h = 0 einbezogen werden: T = c·41472 T = c·25920 T = c·36288 T = 0 T = 0 48 48 48 48 0 12 36 48 0 24 • U m die gesuchte Breite zu berechnen, gehen wir von der gegebenen Formel als Hauptbedingung aus: T (b, h) = c · b · h2 • Der ersten Abbildung auf dieser Seite entnehmen wir die Nebenbedingung: b 2 + h 2 = 48 2 É h 2 = – b2 + 48 2 • Einsetzen in die Formel für T (b, h) liefert die Zielfunktion T: ‾T(b)=c·b·(–b2 + 2 304) = c · (– b3 + 2304·b) mit (0 ª b ª 48) • ‾T ’(b) = –b3 + 2 304 · b(0 ª b ª 48) • Wir ermitteln die globalen Maximumstellen der Funktion ‾Tim Intervall [0; 48]: ‾T ’ (b) = –3b2 + 2304 = 0 É b2 = 768 É b = � ___ 768 ≈ 28 Funktionswerte an den Randstellen des Intervalls [0; 48] und an den Nullstellen von ‾T ’: ‾T(0) = 0, ‾T ( � ___ 768 ) = – � ____ 768 3 + 2304·� ___ 768> 0, ‾T(48) = 0 Somit ist b = � ___ 768auch eine globale Maximumstelle von Tin [0; 48]. • Für h erhält man: h = � _______ – b 2 + 48 2 = � __________ –768 + 2 304 ≈ 39 Ein Balken der Breite b ≈ 28 cm und der Höhe h ≈ 39 cm hat die größte Tragfähigkeit. 3.116 Einer Kugel vom Radius R ist ein Drehzylinder von größtem Volumen einzuschreiben (nebenstehend ist ein Achsenschnitt gezeichnet). Ermittle das Verhältnis der Volumina der beiden Körper zueinander! 3.117 Welcher von allen Drehkegeln mit der Erzeugendenlänge s hat das größte Volumen? Ermittle den Radius und die Höhe dieses Kegels! 48 b h AUFGABEN L M r R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==