81 3.8 Extremwertaufgaben 3.118 Einer Halbkugel mit dem Radius R soll ein auf der Spitze stehender Drehkegel wie in nebenstehender Abbildung eingeschrieben werden. Berechne seine Abmessungen so, dass sein Volumen möglichst groß wird! 3.119 Aus zwei Brettern der Breite a soll eine Rinne mit möglichst großer dreieckiger Querschnittsfläche hergestellt werden. Berechne den Inhalt der Querschnittsfläche! Aufgaben mit dem Strahlensatz (bzw. ähnlichen Dreiecken) 3.120 Einem gleichschenkeligen Dreieck mit der Basislänge c und der Höhe h soll ein Rechteck eingeschrieben werden, dessen eine Seite auf der Basis des Dreiecks liegt. Berechne die Seitenlängen des Rechtecks so, dass dessen Flächeninhalt maximal wird! LÖSUNG • H auptbedingung: A (x, y) = x · y • N ebenbedingung: x : c = (h – y) : h xh=ch–cy y = h _ c · (c – x) • Z ielfunktion A: A (x) = x · h _ c · (c – x) (0 ª x ª c) • ‾A (x) = x · (c – x) = – x2 + c x (0 ª x ª c) ‾A ’ (x) =–2x+c=0 É x = c _ 2 _ A (0) = 0, _ A ( c _ 2 ) = c _ 4 2 , _ A (c) = 0 • D aher ist x = c _ 2 eine globale Maximumstelle von _ Aund damit auch von A. y = h _ c · (c – c _ 2 ) = h _ c · c _ 2 = h _ 2 Es gilt: Das Rechteck mit den Seitenlängen x = c _ 2 und y = h _ 2 hat den größten Flächeninhalt. 3.121 Einem gleichschenkeligen Dreieck mit der Grundlinienlänge a und der Höhe h wird ein gleichschenkeliges Dreieck eingeschrieben, dessen Spitze in der Mitte der Grundlinie liegt. Berechne seine Höhe so, dass sein Flächeninhalt maximal wird! h a 3.122 Einem Drehkegel mit dem Radius r = 6cm und der Höhe h = 12cm ist der volumsgrößte Drehzylinder einzuschreiben (nebenstehend ist ein Achsenschnitt abgebildet). Berechne das Volumen dieses Zylinders! h R r c a h a x A' B' C = C' A B c h y h – y AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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