88 KREIS UND KUGEL GRUNDKOMPETENZEN Kegelschnitte in der Ebene durch Gleichungen beschreiben können; aus einer Kreisgleichung Mittelpunkt und Radius bestimmen können. Die gegenseitige Lage von Kreis und Gerade ermitteln können. Kugeln im Raum durch Gleichungen beschreiben können. AG-L 5.1 AG-L 5.2 AG-L 5.3 4 4.1 Der Kreis Definition und Gleichung eines Kreises L Definition Ein Kreis k mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von M den Abstand r > 0 haben. Anhand der nebenstehenden Abbildung erkennt man, dass ein Punkt X genau dann auf dem Kreis k liegt, wenn gilt: ‾ MX= r bzw. †X – M† = r Da beide Seiten dieser Gleichung positiv sind, erhalten wir durch Quadrieren eine äquivalente Gleichung: (X – M) 2 = r 2 Für X = (x 1 y) und M = (m 1 1 m 2) lautet diese Gleichung: (x – m 1) 2 + (y – m 2) 2 = r 2 Wir haben somit bewiesen: Satz Ist k ein Kreis mit dem Mittelpunkt M = (m 1 1 m 2) * ℝ 2 und dem Radius r, dann gilt: X * k É (X – M) 2 = r 2 bzw. (x 1 y) * k É (x – m 1) 2 + (y – m 2) 2 = r 2 Der Kreis k kann als Punktmenge dargestellt werden: k = {X * ℝ 2 ‡ (X – M) 2 = r 2} bzw. k = {(x 1 y) * ℝ 2 ‡ (x – m 1) 2 + (y – m 2) 2 = r 2} Wir nennen diese Punktmenge einen Kreis in ℝ 2. Die Gleichung (X – M) 2 = r 2 bzw. (x – m 1) 2 + (y – m 2) 2 = r 2 nennt man eine Gleichung des Kreises k. Für M = O = (0 1 0) lautet diese Gleichung: X 2 = r 2 bzw. x 2 + y 2 = r 2 x y r X M 0 k m1 m2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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