91 4.1 Der Kreis Quadratische Gleichungen als Kreisgleichungen L Quadriert man die Klammern in einer Kreisgleichung (x – m1) 2 + (y – m2) 2 = r2 aus, erhält man eine quadratische Gleichung der Form x2 + y2 +ax+by+c=0. Stellt jede solche Gleichung einen Kreis dar? 4.16 Untersuche, ob die folgende Gleichung einen Kreis darstellt! a) x 2 + y 2 +8x–2y–32=0 b) x 2 + y 2 –2x+3y+5=0 LÖSUNG Wir formen die Gleichung so um, dass Quadrate der Form (x – m 1) 2 bzw. (y – m 2) 2 entstehen. a) x 2 +8x+y 2 –2y=32 É (x + 4) 2 + (y – 1) 2 = 32 + 16 + 1 É (x + 4) 2 + (y – 1) 2 = 49 Dies ist eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M = (– 4 1 1) und dem Radius r = 7. b) x 2 –2x+y 2 +3y=–5 É (x – 1) 2 + (y + 3 _ 2 ) 2 =–5+1+9 _ 4 É (x – 1) 2 + (y + 3 _ 2 ) 2 º 0 = – 7 _ 4 ⏟ < 0 Weil kein Punkt (x 1 y) diese Gleichung erfüllt, liegt keine Kreisgleichung vor. 4.17 Welche Bedingung müssen die Koeffizienten der Gleichung x2 + y2 + ax + by + c = 0 erfüllen, damit diese Gleichung eines Kreises ist? LÖSUNG Wir formen die Gleichung so um, dass Quadrate der Form (x – m1) 2 bzw. (y – m2) 2 entstehen. (x + a _ 2 ) 2 + (y + b _ 2 ) 2 + c = a 2 _ 4 + b2 _ 4 É (x + a _ 2 ) 2 + (y + b _ 2 ) 2 = a 2 + b2 – 4 c _ 4 Dies ist genau dann eine Gleichung eines Kreises, wenn a2 + b2 – 4c > 0 bzw. a2 + b2 > 4 c ist. In diesem Fall handelt es sich nämlich um den Kreis mit dem Mittelpunkt M = (– a _ 2 | – b _ 2 ) und dem Radius r = 1 _ 2 � _a 2 + b2 – 4 c . Wir halten das Ergebnis der letzten Aufgabe fest: Satz Die Gleichung x 2 + y 2 +ax+by+c=0 ist genau dann Gleichung eines Kreises, wenn a 2 + b 2 > 4 c ist. 4.18 Stellt die folgende Gleichung einen Kreis dar? Wenn ja, gib Mittelpunkt und Radius an! a) x2 + y2 +2x–4y–9=0 e) x2 + y2 +4y–5=0 b) x2 + y2 –6x–2y–13=0 f) x2 + y2 +5x–3y–10=0 c) x2 + y2 +10x+4y–1=0 g) x2 + y2 –2x+2y–1=0 d) 4 x2 + 4 y2 – 12 x + 16 y = 39 h) x2 + y2 +8y=9 4.19 Kreuze jene beiden Gleichungen an, die einen Kreis mit dem Radius 10 darstellen! x 2 + y 2 –10x+10y–50=0 x 2 + y 2 –4x–84=0 x 2 + y 2 – 12 x – 16 y = 0 x 2 + y 2 +30y–125=0 x 2 + y 2 –8x–6y–125=0 kompakt S. 99 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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