92 4 KREIS UND KUGEL 4.2 Kreis und Gerade Gegenseitige Lage und Schnitt von Kreis und Gerade L Satz Ein Kreis und eine Gerade haben entweder zwei Punkte, einen Punkt oder keinen Punkt gemeinsam. BEWEIS E s sei k: (X – M) 2 = r2 ein Kreis und g: X = P + t · →geine Gerade. Der Punkt X liegt genau dann auf dem Kreis k und der Geraden g, wenn gilt: (P + t · →g – M)2 = r2 [ t · →g+ (P – M) ] 2 – r2 = 0 [ t · →g + ⟶MP ] 2 – r2 = 0 →g 2 · t2 + 2 · ( →g · ⟶MP ) · t + ⟶MP 2 – r2 = 0 Diese quadratische Gleichung in t hat zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung. Daher haben k und g zwei Punkte, einen Punkt oder keinen Punkt gemeinsam. Definition Gegeben ist ein Kreis k und eine Gerade g. Die Gerade g heißt • Sekante von k, wenn g mit k genau zwei Punkte gemeinsam hat, • Tangente von k, wenn g mit k genau einen Punkt gemeinsam hat, • Passante von k, wenn g mit k keinen Punkt gemeinsam hat. BEMERKUNG secare (lat.) = schneiden, tangere (lat.) = berühren, passare (lat.) = vorbeigehen 4.20 Ermittle durch Rechnung die gegenseitige Lage des Kreises k: (x + 2) 2 + (y – 2) 2 = 50 und der Geraden g! 1) g1: x + y = 8 2) g2: x + y = 10 3) g3: x + y = 12 LÖSUNG 1) Ein Punkt (x 1 y) liegt genau dann auf dem Kreis k und der Geraden g, wenn gilt: { (x + 2)2 + (y – 2)2 = 50 x + y = 8 w y = 8 – x Einsetzen in die erste Gleichung liefert: (x + 2)2 + (8 – x – 2)2 = 50 x2 –4x–5=0 x = – 1 = x = 5 Wir setzen diese Werte in die Gleichung y = 8 – x ein. Für x = –1 erhält man y = 9, für x = 5 erhält man y = 3. Schnittpunkte: S1 = (– 1 1 9), S2 = (5 1 3). Die Gerade g1 ist eine Sekante des Kreises k. 2) 3) Gehe analog zu 1) vor! Es ergibt sich die quadratische Gleichung x2 –6x+9=0. Diese Gleichung hat genau eine Lösung: x = 3. Es ergibt sich also genau ein Schnittpunkt: S = (3 1 7). Die Gerade g2 ist eine Tangente des Kreises k. Gehe wiederum wie in 1) vor! Es ergibt sich die quadratische Gleichung x2 –8x+27=0. Diese Gleichung hat keine Lösung. Es ergibt sich also kein Schnittpunkt. Die Gerade g3 ist eine Passante des Kreises k. g1 g3 g2 S2 S1 S Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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