93 4.2 Kreis und Gerade 4.21 Berechne die Schnittpunkte des Kreises k: (x + 2)2 + (y – 7)2 = 85 mit der Geraden g: X = (8 1 1) + t · (4 1 1)! LÖSUNG Ein Schnittpunkt S = (x 1 y) liegt auf g und auf k. Da S auf g liegt, gibt es ein t * R, sodass gilt: (x 1 y) = (8 1 1) + t · (4 1 1) É { x=8+4t y=1 + t Da S auch auf k liegt, müssen seine Koordinaten die Kreisgleichung erfüllen: (8+4t+2)2 + (1 + t – 7)2 = 85 17 t2 +68t+51=0 t2 +4t+3=0 t = – 1 = t = – 3 Einsetzen dieser Werte in die Parameterdarstellung von g liefert die Schnittpunkte S1 = (4 1 0) und S2 = (– 4 1 – 2). Mit Technologieeinsatz lassen sich allfällige Schnittpunkte eines Kreises k und einer Geraden g und damit auch die gegenseitige Lage von k und g ebenso ermitteln. 4.22 Berechne die Schnittpunkte des Kreises k mit der Geraden g! a) k: x2 + y2 =25,g:y–x=–1 d) k: (x + 2)2 + (y – 4)2 =45,g:y=3x–5 b) k: x2 + y2 =65,g:x–2y=–15 e) k: (x + 5)2 + (y + 9)2 =170,g:x+4y=10 c) k: (x + 3)2 + (y – 2)2 =85,g:4x+y=7 f) k: x2 + y2 –4x+10y–36=0,g:2x+3y=2 4.23 Berechne die Schnittpunkte des Kreises k mit der Geraden g! a) k: x2 + y2 – 50 = 0, g: X = (1 1 – 2) + t · (2 1 1) b) k: x2 + y2 – 130 = 0, g: X = (5 1 12) + t · (– 2 1 3) c) k: (x – 5)2 + (y + 2)2 = 52, g: X = (3 1 6) + t · (1 1 1) d) k: (x – 1)2 + (y + 3)2 – 25 = 0, g: X = (12 1 – 5) + t · (4 1 – 3) e) k: x2 + y2 –4x+10y=36,g:X=(0 1 – 2) + t · (5 1 – 1) f) k:M=(–3 1 –4),P = (–1 1 1) * k, g: X = (2 1 – 2) + t · (– 7 1 3) 4.24 Ermittle die gegenseitige Lage des Kreises k und der Geraden g! a) k: x2 + y2 +2x+4y+1=0,g:y=15 d) k: x2 + y2 +2x=129,g:A=(13 1 5), B = (–11 1 – 11) b) k: (x + 12)2 + (y – 8)2 =68,g:4x–y=–22 e) k: x2 + y2 – 16 = 0, g: X = (1 1 15) + t · (2 1 – 3) c) k: x2 + y2 =25,g:x+2y=16 f) k: M = (2 1 – 4), r = 13, g: 5 x + 12 y = 131 4.25 Welche Punkte der Geraden g haben vom Punkt P den Abstand a? a) g: X = (5 1 2)+ t · (– 1 1 3), P = (0 1 2), a = � __ 45 c) g:2x+y=4,P=(7 1 5), a = � __ 65 b) g: X = (1 1 1)+ t · (3 1 – 4), P = (– 3 1 –2), a = � ___ 125 d) g: x – 3y = –14, P = (2 1 –3), a = � __ 85 4.26 Gib jene Punkte an, die von den Punkten A und B gleich weit entfernt sind und vom Punkt P den Abstand a haben! a) A = (5 1 2), B = (3 1 4), P = (7 1 5), a = 5 c) A = (6 1 11), B = (2 1 – 1), P = (– 3 1 4), a = � __ 20 b) A = (7 1 3), B = (3 1 5), P = (– 5 1 – 1), a = � __ 45 d) A = (10 1 – 5), B = (4 1 5), P = (– 1 1 2), a = � ___ 170 4.27 Für welche Werte von a hat die Gerade g : y = a · xmit dem Kreis k: (x – 5)2 + (y – 5)2 = 10 1) keinen Punkt, 2) genau einen Punkt, 3) zwei Punkte gemeinsam? kompakt S. 99 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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