94 4 KREIS UND KUGEL Tangente in einem Punkt eines Kreises L Definition Eine Gerade, die mit einem Kreis genau einen Punkt T gemeinsam hat, bezeichnet man als Tangente an den Kreis oder Kreistangente im Punkt T. Satz Die Tangente in einem Punkt T eines Kreises mit dem Mittelpunkt M steht normal zum Radius MT. BEWEIS Wie wir im Satz auf Seite 92 gezeigt haben, führt der Schnitt eines Kreises k mit einer Geraden g: X = P + t · →gauf die quadratische Gleichung: → g 2 · t 2 +2·(→g · ⟶MP)·t+ ⟶MP 2 – r 2 = 0 Wenn nun g die Tangente an den Kreis k im Punkt T des Kreises ist, dann kann T als fester Punkt P von g verwendet werden und gleichzeitig gilt ⟶MT 2 = r 2. Somit gilt: → g 2 · t 2 +2·(→g · ⟶MT)·t+0=0 Da k und g genau einen Punkt gemeinsam haben, muss die Diskriminante D dieser Gleichung null sein: D = [ 2 · ( →g · ⟶MT ) ] 2 – 4 · → g 2 · 0 = [ 2 · ( →g · ⟶MT ) ] 2 = 0 Daraus folgt →g · ⟶MT= 0 und das bedeutet →g © ⟶MT. Also steht g normal zu MT. 4.28 Gib eine Gleichung der Tangente im Punkt T des Kreises k an! T = (6 1 t 2 > 0), k: (x – 2) 2 + (y – 1) 2 = 25 LÖSUNG Setzt man in der Kreisgleichung x = 6, so ergibt sich y = 4. Also ist T = (6 1 4). Ein Normalvektor der gesuchten Tangente ist ⟶MT=T–M=(6 1 4) – (2 1 1) = (4 1 3). Gleichung der Tangente: 4 x + 3 y = 36 Eine andere Möglichkeit, diese Aufgabe zu lösen, bietet der folgende Satz: Satz (Spaltform der Tangentengleichung) Eine Gleichung der Tangente in einem Punkt T = (t 1 1 t 2) des Kreises k: (x – m 1) 2 + (y – m 2) 2 = r 2 lautet: (t 1 – m 1) · (x – m 1) + (t 2 – m 2) · (y – m 2) = r 2 BEWEIS Für alle Punkte X = (x 1 y) auf der Tangente im Punkt T des Kreises k gilt: ⟶MT · → TX = 0 (T – M) · (X – T) = 0 (T – M) · (X – T) + r 2 = r 2 (T – M) · (X – T) + ⟶ MT 2 = r 2 (T – M) · (X – T) + (T – M) 2 = r 2 É (T – M) · [(X – T) + (T – M)] = r 2 É (T – M) · (X – M) = r 2 É (t 1 – m 1) · (x – m 1) + (t 2 – m 2) · (y – m 2) = r 2 Merke Man erhält die Spaltform der Tangentengleichung, indem man die Quadrate der Terme in Klammern der Kreisgleichung folgendermaßen „aufspaltet“: k: (x – m 1) 2 + (y – m 2) 2 = r 2 (t 1 – m 1) · (x – m 1) (t 2 – m 2) · (y – m 2) t: Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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