95 4.2 Kreis und Gerade 4.29 Ermittle eine Gleichung der Tangente aus Aufgabe 4.28 mithilfe der Spaltform! LÖSUNG k: (x – 2) 2 + (y – 1) 2 = 25 t: (t 1 – 2) · (x – 2) + (t 2 – 1) · (y – 1) = 25 t: (6 – 2) · (x – 2) + (4 – 1) · (y – 1) = 25 t:4x+3y=36 4.30 Ermittle eine Gleichung der Tangente an den Kreis k im Punkt T des Kreises! a) k: x 2 + y 2 = 100, T = (– 8 1 t 2 ) mit t 2 < 0 b) k: (x – 3) 2 + (y – 2) 2 = 65, T = (t 1 1 – 5) mit t 1 > 0 c) k: (x – 4) 2 + (y + 4) 2 = 98, T = (– 3 1 t 2 ) mit t 2 > 0 d) k: x 2 + y 2 +10x+8y+1=0, T = (t 1 1 – 2) mit t 1 < 0 4.31 Der Punkt T liegt auf dem Kreis k. Stelle eine Gleichung der Tangente an den Kreis k im Punkt T auf und ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks, das diese Tangente mit den positiven Koordinatenachsen einschließt! a) k: (x – 5) 2 + (y + 7) 2 = 25, T = (9 1 t 2) mit t 2 < 0 b) k: x 2 + (y – 3) 2 = 65, T = (t 1 1 4) mit t 1 > 0 Tangenten von einem Punkt aus an einen Kreis L 4.32 Vom Punkt Q = (– 7 1 4) aus sind Tangenten an den Kreis k zu legen, der den Mittelpunkt M = (3 1 – 6) und den Radius r = � _ 20hat. Berechne die Koordinaten der Berührpunkte! LÖSUNG Aus der Abbildung erkennt man, dass es zwei passende Tangenten t und t’ mit den Berührpunkten T und T’ gibt. Gleichung von k: (x – 3) 2 + (y + 6) 2 = 20 Die Tangente t berührt den Kreis k im Punkt T = (t 1 1 t 2). Es muss gelten: • T * k w (t 1 – 3) 2 + (t 2 + 6) 2 = 20 • ⟶MT © ⟶ QT w (t 1 – 3 1 t 2 + 6) · (t 1 + 7 1 t 2 – 4) = 0 Insgesamt erhalten wir folgendes Gleichungssystem: { (t 1 – 3) 2 + (t 2 + 6) 2 = 20 (t 1 – 3) · (t 1 + 7) + (t 2 + 6) · (t 2 – 4) = 0 É { t 1 2 + t 2 2 – 6 t 1 + 12t 2 + 25 = 0 t 1 2 + t 2 2 + 4 t 1 + 2 t 2 – 45 = 0 Um dieses Gleichungssystem zu vereinfachen, lassen wir die erste Gleichung unverändert und subtrahieren die zweite Gleichung von der ersten: { t 1 2 + t 2 2 – 6 t 1 + 12t 2 + 25 = 0 – 10t 1 + 10t 2 + 70 = 0 w t 2 = t 1 – 7 Einsetzen in die erste Gleichung liefert die quadratische Gleichung: t 1 2 + (t 1 – 7) 2 – 6 t 1 + 12 (t 1 – 7) + 25 = 0 Löse diese Gleichung selbst! Es ergibt sich: t 1 = 5 = t 1 = – 1 Für t1 = 5 erhält man t 2 = –2, für t1 = –1 erhält man t 2 = – 8. Berührpunkte: T = (5 1 –2), T’ = (–1 1 – 8) AUFGABEN L 0 1 1 Q T T' t' t M k x y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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