97 4.3 Die Kugel 4.3 Die Kugel Gleichung einer Kugel L Definition Eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r ist die Menge aller Punkte des Raumes, die von M den Abstand r haben. Anhand der nebenstehenden Abbildung erkennt man, dass ein Punkt X genau dann auf der Kugel K liegt, wenn gilt: ‾ MX= r bzw. †X – M† = r (X – M) 2 = r 2 Für X = (x 1 y 1 z) und M = (m 1 1 m 2 1 m 3) lautet diese Gleichung: (x – m 1) 2 + (y – m 2) 2 + (z – m 3) 2 = r 2 Wir haben somit bewiesen: Satz Ist K eine Kugel mit dem Mittelpunkt M = (m 1 1 m 2 1 m 3) * ℝ 3 und dem Radius r, dann gilt: X * K É (X – M) 2 = r 2 bzw. (x 1 y 1 z) * K É (x – m 1) 2 + (y – m 2) 2 + (z – m 3) 2 = r 2 Die Kugel K kann als Punktmenge dargestellt werden: K = {X * ℝ 3 ‡ (X – M) 2 = r 2} bzw. K = {(x 1 y 1 z) * ℝ 3 ‡( x – m 1) 2 + (y – m 2) 2 + (z – m 3) 2 = r 2} Wir nennen diese Punktmenge eine Kugel in ℝ 3. Die Gleichung (X – M) 2 = r 2 bzw. (x – m 1) 2 + (y – m 2) 2 + (z – m 3) 2 = r 2 nennt man eine Gleichung der Kugel K. Für M = O = (0 1 0 1 0) lautet diese Gleichung: X 2 = r 2 bzw. x 2 + y 2 + z 2 = r 2 Wir halten fest: Gleichung einer Kugel mit dem Mittelpunkt M = (m 1 1 m 2 1 m 3) und dem Radius r: (X – M) 2 = r 2 bzw. (x – m 1) 2 + (y – m 2) 2 + (z – m 3) 2 = r 2 Gleichung einer Kugel mit dem Mittelpunkt O = (0 1 0 1 0) und dem Radius r: X 2 = r 2 bzw. x 2 + y 2 + z 2 = r 2 Mit Technologieeinsatz können Gleichungen von Kugeln ermittelt werden und Kugeln in der 3D-Grafik gezeichnet werden. 4.41 Gib eine Gleichung der Kugel mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r an! a) M = (3 1 0 1 –2), r = 3 c) M = (4 1 – 1 1 –2), r = 6 e) M = (0 1 0 1 0), r = � _ 3 b) M = (– 2 1 0 1 –2), r = 2 d) M = (– 3 1 2 1 –7), r = 5 f) M = (0,5 1 – 0,5 1 –2),r=� _ 3 4.42 Kreuze die beiden Punkte an, die auf der Kugel K: (x – 1) 2 + (y – 4) 2 + (z + 2) 2 = 54 liegen! (3 1 6 1 5) (4 1 7 1 4) (5 1 9 1 2) (6 1 9 1 0) (7 1 8 1 – 1) M m1 X r m2 m3 z y x kompakt S. 99 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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