44 46 48 50 52 54 8 Mathematik verstehen WOSCHITZ | KOTH | SALZGER | ULOVEC QuickMedia App für digitale Zusatzmaterialien
Mathematik verstehen 8, Schülerbuch + E-Book Schulbuchnummer 195131 Mathematik verstehen 8, Schülerbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer 200195 Mathematik verstehen 8, Schülerbuch E-Book Solo Schulbuchnummer 207948 Mathematik verstehen 8, Schülerbuch E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer 207949 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 28. Oktober 2019, GZ BMBWF-5.018/ 0096-Präs/14/2018, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 8. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen – Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2017) geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 17. September 2025, GZ 2025-0.466.795, teilt das Bundesministerium für Bildung, Wissenschaft und Forschung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes „Mathematik verstehen 8, Schulbuch + E-Book“ (BNR 195.131) kein Einwand besteht. Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 27. November 2020, GZ BMBWF-5.018/ 0050-Präs/14/2019, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 8. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen – Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2018) geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 17. September 2025, GZ 2025-0.466.795, teilt das Bundesministerium für Bildung, Wissenschaft und Forschung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes „Mathematik verstehen 8. Schulbuch + E-BOOK+“ (BNR 200.195) kein Einwand besteht. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, Sie bekommen dieses Schulbuch von der Republik Österreich für Ihre Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Bildnachweis: U1: Jose A. Bernat Bacete/ Getty Images - Moment open; S. 6: chris-m / Fotolia; S. 32: Andrey Artykov / iStockphoto.com; S. 50: payphoto / iStockphoto.com; S. 51: payphoto / iStockphoto.com; S. 52: Margit Power / Fotolia; S. 70: stillkost / Fotolia; S. 71.1: Sergej Toporkov / Fotolia; S. 71.2: AndreyPopov / Getty Images - iStockphoto; S. 72.1: KeongDaGreat / Getty Images - iStockphoto; S. 72.2: Leonid Shcheglov / Fotolia; S. 74.1: MEV-Verlag, Germany; S. 74.2: MP2 / Fotolia; S. 81: Vladimir Shevelev / Fotolia; S. 82: scanrail / Thinkstock; S. 83: Ruben Mario Ramos 2017 / Getty Images - iStockphoto; S. 84: Vudhikul Ocharoen / Getty Images - iStockphoto; S. 88.1: dima_sidelnikov / Thinkstock; S. 88.2: DmitriMaruta / Getty Images - iStockphoto; S. 91: monkeybusinessimages / Thinkstock; S. 98: lantapix - stock.adobe.com; S. 102: Composer / Fotolia; S. 105.1: Tatiana Popova / iStockphoto.com; S. 105.2: ideeone / iStockphoto.com; S. 108: Fotolia_33313972_M.jpg; S. 120: Stas Perov / iStockphoto.com; S. 125.1: impr2003 / Thinkstock; S. 125.2: kyslynskyy / Fotolia; S. 225: Tatiana Popova / iStockphoto.com; S. 227: Maciej Mamro / Fotolia 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Karin Drucks, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung und Layout: normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Druck: Brüder Glöckler GmbH, Wöllersdorf ISBN 978-3-209-12364-0 (Mathematik verstehen OS SB 8 + E-Book) ISBN 978-3-209-12368-8 (Mathematik verstehen OS SB 8 mit E-BOOK+) ISBN 978-3-209-12396-1 (Mathematik verstehen OS SB 8 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-12400-5 (Mathematik verstehen OS SB 8 E-BOOK+ Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathematik verstehen 8 Hochschulprofessorin OStR Mag. Dr. Maria Koth Prof. OStR Mag. Dr. Helge Woschitz Prof. OStR Mag. Dr. Bernhard Salzger MMag. Dr. Andreas Ulovec Unter Mitarbeit von: Univ. Prof. Mag. Dr. Günther Malle Prof. OStR Mag. Sonja Malle Die Online-Ergänzung auf www.oebv.at wurde erstellt von: Hochschulprofessor Mag. Dr. Christian Dorner Doz. Dr. Franz Embacher Prof. OStR Mag. Dr. Bernhard Salzger MMag. Dr. Andreas Ulovec www.oebv.at KOTH | SALZGER | ULOVEC | WOSCHITZ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Arbeiten mit Mathematik verstehen Aufbau Jedes Kapitel beginnt mit einer Aufzählung der Grundkompetenzen, die in diesem Kapitel erworben werden sollen. Im Buch wird zwischen Lehrplan L und schriftlicher Reifeprüfung R unterschieden. Die pinke Linie am linken Seitenrand zeigt genau an, was für die schriftliche Reifeprüfung relevant ist. Jedes Kapitel beinhaltet eine Seite Technologie kompakt. Hier werden die wichtigsten Befehle für GeoGebra und Casio Class Pad II angezeigt. Am Ende jedes Kapitels findet man einen Kompetenzcheck, in dem die geforderten Grundkompetenzen durch Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2 überprüft werden. Ebenfalls werden die kontextreduzierten Typ 2-Aufgaben extra ausgezeichnet. Bei jeder Aufgabennummer werden die zugehörigen Grundkompetenzen jeweils links davon angeführt. Symbole Dieses Symbol kennzeichnet Typ 2-Aufgaben mit einem reduziertem Kontext. Dieses Symbol kennzeichnet Aufgaben oder Stellen, an denen ein Technologieeinsatz möglich bzw. empfehlenswert ist. Dieses Symbol verweist auf die Technologie kompakt-Seiten, auf denen man kurze Anleitungen zum Technologieeinsatz von GeoGebra bzw. Casio Class Pad II vorfindet. Digitales Zusatzmaterial QuickMedia App 1. Scanne den QR-Code (unten) und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. Online Codes Hier gibt es eine Online-Ergänzung. Der Code führt direkt zu den Inhalten. Im Digitalen Zusatzmaterial befinden sich Applets, Lernapplets, Arbeitsblätter, Lesetexte, Fragen zum Grundwissen und TI-Nspire kompakt. www.oebv.at Suchbegriff / ISBN / SBNr. / Online-Code Suchen REDUZIERTER KONTEXT kompakt S. xxx Android iOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 INHALTSVERZEICHNIS 7. und 8. Semester STAMMFUNKTION UND INTEGRAL 6 1.1 Stammfunktionen 6 1.2 Unter- und Obersummen, Integral 11 1.3 Approximation des Integrals durch Summen 16 1.4 Berechnen von Integralen 18 1.5 Sätze über Integrale 20 TECHNOLOGIE KOMPAKT 22 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 23 EINIGE ANWENDUNGEN DER INTEGRALRECHNUNG 26 2.1 Flächeninhalte 26 2.2 Weglängen 32 2.3 Volumina 36 2.4 Physikalische Anwendungen des Integrals 42 2.5 Weitere Anwendungen 45 TECHNOLOGIE KOMPAKT 48 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 49 VERTIEFUNG DER INTEGRALRECHNUNG 54 3.1 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 54 3.2 Unbestimmtes Integrieren 56 3.3 Weitere Integrationsmethoden 57 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1) 60 DIE NORMALVERTEILUNG 62 4.1 Diskrete und stetige Zufallsvariablen 62 4.2 Normalverteilte Zufallsvariablen 66 4.3 Grundaufgaben zur Normalverteilung 70 4.4 Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 77 TECHNOLOGIE KOMPAKT 79 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 80 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 SCHÄTZEN VON ANTEILEN 86 5.1 Streubereiche 86 5.2 Konfidenzintervalle 89 TECHNOLOGIE KOMPAKT 94 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 95 TESTEN VON ANTEILEN 98 6.1 Einseitige Anteilstests 98 6.2 Zweiseitige Anteilstests 103 6.3 Kritische Werte 106 6.4 Vertiefendes Wissen über Anteilstests 109 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 111 DIFFERENZEN- UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 112 7.1 Differenzengleichungen 112 7.2 Differentialgleichungen 115 TECHNOLOGIE KOMPAKT 118 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 119 VERNETZTE SYSTEME UND DEREN DYNAMIK 120 8.1 Grafische Darstellungen von vernetzten Systemen 120 8.2 Modelle der Populationsentwicklung 125 TECHNOLOGIE KOMPAKT 129 KOMPENDIUM FÜR DIE REIFEPRÜFUNG 130 9.1 Algebra und Geometrie 130 9.2 Funktionale Abhängigkeiten 141 9.3 Analysis 148 9.4 Wahrscheinlichkeit und Statistik 155 REIFEPRÜFUNG: ALGEBRA UND GEOMETRIE 162 Grundkompetenzen 162 Aufgaben vom Typ 1 163 Aufgaben vom Typ 2 169 5 6 7 8 9 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 REIFEPRÜFUNG: FUNKTIONALE ABHÄNGIGKEITEN 174 Grundkompetenzen 174 Aufgaben vom Typ 1 176 Aufgaben vom Typ 2 188 REIFEPRÜFUNG: ANALYSIS 196 Grundkompetenzen 196 Aufgaben vom Typ 1 197 Aufgaben vom Typ 2 207 REIFEPRÜFUNG: WAHRSCHEINLICHKEIT UND STATISTIK 218 Grundkompetenzen 218 Aufgaben vom Typ 1 219 Aufgaben vom Typ 2 230 Stichwortverzeichnis 240 11 12 13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 GRUNDKOMPETENZEN Den Begriff Stammfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können. Den Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion in deren graphischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können. Den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können. Einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für ∫ k · f (x) dx und ∫ f (k · x) dx, bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können. Das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können. AN-R 3.1 AN-R 3.2 AN-R 4.1 AN-R 4.2 AN-R 4.3 STAMMFUNKTION UND INTEGRAL 1.1 Stammfunktionen Der Begriff der Stammfunktion R 1.01 Die Geschwindigkeit eines Körpers zum Zeitpunkt t beträgt v(t) = 2t. Gib eine Termdarstellung der Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ s (t) an, wenn s (0) = 0 ist (s in m, v in m/s)! LÖSUNG v (t) = s’ (t) (Geschwindigkeit = Änderungsrate des Ortes pro Zeiteinheit) Für die gesuchte Zeit-Ort-Funktion muss also gelten: s’(t) = 2t und s (0) = 0 Die Funktion s mit s (t) = t2 erfüllt diese Bedingungen. (Rechne nach!) In der letzten Aufgabe haben wir zu einer gegebenen Funktion eine weitere Funktion gesucht, deren Ableitung die gegebene Funktion ist. Aufgabenstellungen dieser Art kommen in der Mathematik häufig vor. Dies rechtfertigt, den dabei gesuchten Funktionen einen eigenen Namen zu geben: Definition Sind f und F reelle Funktionen mit derselben Definitionsmenge A und gilt F’ (x) = f (x) für alle x * A, dann heißt F eine Stammfunktion von f. Kurz: F ist Stammfunktion von f É F’ = f 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 1.1 Stammfunktionen 1.02 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f: R ¥ R mit f (x) = x2! Ist diese eindeutig bestimmt? Deute das Ergebnis geometrisch! LÖSUNG Man kann durch Differenzieren überprüfen, dass die folgenden Funktionen die Funktion f als Ableitung haben: F 0 (x) = x3 _ 3 F 1 (x) = x3 _ 3 + 1 F 2 (x) = x3 _ 3 + 2 F 3 (x) = x3 _ 3 + 3 usw. Allgemein hat jede Funktion der folgenden Form die Funktion f als Ableitung: F(x) = x 3 _ 3 +c mitc * R Man kann dies folgendermaßen geometrisch interpretieren: Die Graphen dieser Funktionen gehen durch Verschiebungen in Richtung der 2. Achse auseinander hervor (siehe voranstehende Abbildung). Sie haben somit an jeder Stelle x * R die gleiche Steigung. Also stimmen auch ihre Ableitungen an jeder Stelle x miteinander überein. Ist F 0: A ¥ ℝ eine Stammfunktion von f, dann ist auch jede Funktion F mit F (x) = F 0 (x) + c eine Stammfunktion von f, denn es ist F’ (x) = F0 ’ (x) = f (x) für alle x * A. Es stellt sich aber die Frage: Sind alle Stammfunktionen von f von dieser Form? Um diese Frage zu beantworten, beweisen wir zuerst den folgenden Satz. Satz Ist I ein Intervall und f’ (x) = 0 für alle x * I, dann ist f konstant in I. BEWEIS Ist f’ (x) = 0 für alle x * I, dann gilt sowohl f’ (x) º 0 als auch f’ (x) ª 0 für alle x * I. Somit ist f in I sowohl monoton steigend als auch monoton fallend. Das ist nur möglich, wenn f in I konstant ist. Nun können wir zeigen: Satz Ist die reelle Funktion f in einem Intervall I definiert und F 0 eine Stammfunktion von f, dann sind alle Stammfunktionen von f von der Form F (x) = F 0 (x) + c mit c * ℝ. BEWEIS Sei F eine beliebige Stammfunktion von f. Wir betrachten die Funktion G mit G (x) = F (x) – F 0 (x). Wegen G’(x) = F’(x) – F0 ’ (x) = f (x) – f (x) = 0 gilt nach dem vorausgehenden Satz G (x) = F (x) – F 0 (x) = c mit c * ℝ und somit F (x) = F 0 (x) + c für alle x * I. Im letzten Satz ist die Voraussetzung, dass I ein Intervall ist, wesentlich. Ist der Definitionsbereich von f kein Intervall, dann muss nicht jede Stammfunktion von f von der Form F (x) = F 0 (x) + c sein, wie das folgende Beispiel zeigt. 1 2 3 4 –1 –2 –3 –4 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 F (x) x F 3 F 2 F 1 F 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 1 Stammfunktion und Integral BEISPIEL Gegeben ist die Funktion f: ℝ* ¥ ℝ mit f (x) = – 1 _ x2 . Wir betrachten folgende Funktionen: F 1: ℝ* ¥ ℝ mit F 1 (x) = 1 _ x F 2: ℝ* ¥ ℝ mit F 2 (x) = { 1 _ x + 1 für x < 0 1 _ x für x > 0 x F 1 (x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 –3 –2 –1 0 x F 2 (x) 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 –3 –2 –1 0 Beide Funktionen sind Stammfunktionen von f, denn es gilt: F 1 ’ (x) = F2 ’ (x) = – 1 _ x2 für alle x * ℝ*. Aber wie man an den Graphen sieht, gibt es kein c * ℝ, sodass F 2 (x) = F 1 (x) + c für alle x * ℝ* gilt. Einige Stammfunktionen R Funktion eine Stammfunktion Beweis f(x) = k (mit k * R) F (x) = k · x F’(x) = k = f(x) f (x) = x r (mit r * R*,r≠–1) F (x) = x r + 1 _ r + 1 F’(x) = 1 _ r + 1 ·(r+1)·x r = x r = f (x) f(x) = sinx F (x) = – cos x F’ (x) = – (– sin (x)) = sin (x) = f (x) f(x) = cosx F(x) = sinx F’ (x) = cos (x) = f (x) f (x) = ex F (x) = ex F’ (x) = ex = f (x) f (x) = a x (mit a * R+, a ≠ 1) F(x) = a x _ ln a F’ (x) = 1 _ ln a · a x ·lna = ax = f (x) f(x) = 1 _ x (fürx>0) F(x) = ln (x) F’(x) = 1 _ x = f (x) Summen, Differenzen und Vielfache von Funktionen R Definition Sind f: A ¥ ℝ und g: A ¥ ℝ reelle Funktionen, dann setzt man: (1) f + g: A ¥ ℝ mit (f + g)(x) = f(x) + g(x) (2) f – g: A ¥ ℝ mit (f – g)(x) = f(x) – g(x) (3) k · f: A ¥ ℝ mit (k · f) (x) = k · f (x) (für k * ℝ) Die Definition (1) lässt sich so verallgemeinern: Sind f 1 , f 2 …, f n reelle Funktionen von A nach ℝ, dann setzt man: f 1 + f 2 +…+fn: A ¥ ℝ mit (f 1 + f 2 +…+fn) (x) = f1 (x) + f2 (x) + … + fn (x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 1.1 Stammfunktionen Satz Sind F und G Stammfunktionen der Funktionen f: A ¥ ℝ bzw. g: A ¥ ℝ, dann ist (1) die Funktion F + G eine Stammfunktion der Funktion f + g, (2) die Funktion F – G eine Stammfunktion der Funktion f – g, (3) die Funktion k · F eine Stammfunktion der Funktion k · f, (wobei k * ℝ). BEWEIS Für alle x * A gilt: (1) (F + G)’(x) = F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) (2) (F – G)’(x) = F’(x) – G’(x) = f(x) – g(x) = (f – g)(x) (3) (k · F)’ (x) = k · F’ (x) = k · f (x) = (k · f) (x) Die Regel (1) dieses Satzes lässt sich so verallgemeinern: Satz Sind F 1, F 2, …, Fn Stammfunktionen der Funktionen f1, f 2, …, fn, dann ist die Funktion F 1 + F 2 + … + F n eine Stammfunktion der Funktion f1 + f 2 +…+fn. BEWEIS Für alle x aus dem gemeinsamen Definitionsbereich dieser Funktionen gilt: (F 1 + F 2 + … + F n)’ (x) = F1 ’ (x) + F 2 ’ (x) + … + F n ’ (x) = f 1 (x) + f 2 (x)+…+fn (x) = = (f 1 + f 2 +…+fn) (x) Stammfunktionen von Polynomfunktionen R Mithilfe der bisher bewiesenen Sätze können wir zu jeder Polynomfunktion eine Stammfunktion ermitteln. Ist f eine Polynomfunktion mit f (x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a0 , dann ist die folgende Funktion F eine Stammfunktion von f: F(x) = a n _ n + 1 x n + 1 + a n – 1 _ n x n + … + a 1 _ 2 x 2 + a 0 x Überprüfe dies selbst durch Differenzieren! Stammfunktionen von rationalen Funktionen R Rationale Funktionen kann man mithilfe der Quotientenregel problemlos differenzieren, es gibt aber für rationale Funktionen keine allgemeine Regel zur Ermittlung von Stammfunktionen. In einigen Fällen kann man eine Stammfunktion finden, wenn man den Funktionsterm in geeigneter Weise umformt, wie die nächste Aufgabe zeigt. 1.03 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f mit f (x) = x 2 – 1 _ x 2 ! LÖSUNG f(x) = x 2 – 1 _ x 2 =1–1 _ x 2 =1–x– 2 w F(x)=x–x – 1 _ – 1 =x+ 1 _ x Stammfunktionen von rationalen Funktionen müssen selbst nicht rational sein. ZB ist F mit F (x) = ln (x) nicht rational und eine Stammfunktion der rationalen Funktion f mit f (x) = 1 _ x . 1.04 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f: R ¥ R! a) f (x) = 1 c) f(x) = 0 e) f (x) = x4 g) f (x) = – 3x2 b) f(x) = – 1 _ 2 d) f(x) = x f) f(x) = –x 5 h) f (x) = 5 x9 kompakt Seite 22 AUFGABEN R Ó Lernapplet qk5rz4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 1 Stammfunktion und Integral 1.05 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f: R ¥ R! a) f (x) = x3 – 3 x b) f (x) = x3 + 4x2 – x c) f (x) = x5 – x 4 + x 3 – x 2 + x – 1 1.06 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f: R ¥ R! a) f(x) = 2·sin(x) + 3 c) f (x) = x + cos (x) e) f (x) = cos (x) – sin (x) b) f(x) = 3·cos(x) – 5 d) f (x) = sin (x) + 3 x2 f) f (x) = sin (x) + 2 · cos (x) 1.07 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f: ℝ ¥ ℝ! a) f (x) = 2 · e x c) f (x) = x + e x e) f (x) = e x – cos (x) b) f (x) = 2 + e x d) f (x) = x – 2 · e x f) f (x) = e x + sin (x) 1.08 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f: ℝ ¥ ℝ! a) f (x) = 2 x b) f (x) = 10 x c) f (x) = –3x d) f (x) = 2 x + 3 x 1.09 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f: ℝ 0 + ¥ ℝ! a) f (x) = � _ x b) f (x) = x 2 _ 3 c) f (x) = –x1,5 d) f (x) = x 3 + x 1 _ 3 1.10 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f: ℝ + ¥ ℝ! a) f (x) = – 1 _ x b) f (x) = 3 _ x c) f (x) = x + 1 _ x d) f (x) = 2 _ x – x 2 1.11 Die Geschwindigkeit eines Körpers zum Zeitpunkt t beträgt v (t) = t 2. Kreuze die beiden Zeit-Ort-Funktionen s an, die dazu passen! s(t) = 2t s (t) = t3 s (t) = 1 _ 3 t 3 s (t) = t3 + 1 s (t) = 1 _ 3 · (t 3 + 1) 1.12 Gib drei verschiedene Stammfunktionen der Funktion f an! a) f (x) = 4x3 – 1 c) f (x) = 2 x4 – x 2 + x e) f (x) = ex + 3 b) f(x) = 6x2 – 4 x d) f (x) = x2 · (1 – x ) f) f(x) = 2·cos(x) – x 3 1.13 Gegeben ist eine Funktion f: R ¥ R mit f (x) = ax3 mit a * R. Bestimme a so, dass die Funktion F: R ¥ R mitF(x)=2·x 4 + 5eine Stammfunktion von f ist! 1.14 In der Abbildung rechts ist der Graph einer konstanten Funktion f dargestellt. Gib eine Funktionsgleichung jener Stammfunktion F von f an, deren Graph durch den Punkt P = (2 | 1) verläuft! F (x) = x f –2 2 4 6 2 4 O f(x) 1.15 Sei f eine Polynomfunktion und F eine Stammfunktion von f. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Ist f monoton fallend in einem Intervall [a; b], so ist F (x) ª 0 für alle x * [a; b]. Ist f (x) > 0 für alle x * [a; b], so ist F streng monoton steigend in [a; b]. Ist p eine Nullstelle von f, so ist p eine lokale Extremstelle von F. Ist p eine Wendestelle von F, so ist f’ (p) = 0. Ist F (p) = 0, so hat der Graph von f an der Stelle p eine zur x-Achse parallele Tangente. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 1.2 Unter- und Obersummen, Integral 1.2 Unter- und Obersummen, Integral Näherungsweises Berechnen von Flächeninhalten R Die Funktion f nehme im Intervall [a; b] nur nichtnegative Werte an. Die in der nebenstehenden Abbildung grün unterlegte Fläche bezeichnen wir kurz als die von f in [a; b] festgelegte Fläche. Deren Inhalt bezeichnen wir mit A f (a, b) oder kurz mit A (a, b). Wir kennen keine Formel zur Berechnung eines solchen Flächeninhalts, können diesen aber näherungsweise berechnen, indem wir das Intervall [a; b] in Teilintervalle zerlegen. Über den Teilintervallen errichten wir Rechtecke, die der betrachteten Fläche ein- bzw. umgeschrieben sind. Die Summe der Inhalte der eingeschriebenen (umgeschriebenen) Rechtecke nennen wir kurz eine Untersumme (Obersumme) für A (a, b). Durch die Untersumme (Obersumme) erhalten wir eine untere (obere) Schranke für A (a, b). Untersumme und Obersumme schätzen den Flächeninhalt A(a, b) im Allgemeinen umso genauer ab, in je mehr Teilintervalle [a; b] zerlegt wird. Dies zeigt die folgende Aufgabe: 1.16 Ermittle näherungsweise den Inhalt der Fläche, die von der Funktion f mit f (x) = 10 _ x + 1 im Intervall [0; 4] festgelegt wird! LÖSUNG 1. NÄHERUNG: Wir fügen in das Intervall [0; 4] keinen Teilungspunkt ein (siehe Abb. 1.1). Untersumme = f (4) · 4 = 2 · 4 = 8 Obersumme = f (0) · 4 = 10 · 4 = 40 Daraus folgt: 8 ª A (0; 4) ª 40 2. NÄHERUNG: W ir teilen das Intervall [0; 4] in vier gleich lange Teilintervalle (siehe Abb. 1.2). Untersumme = f (1) · 1 + f (2) · 1 + f (3) · 1 + f (4) · 1 = 12,83… (Rechne nach!) Obersumme = f (0) · 1 + f (1) · 1 + f (2) · 1 + f (3) · 1 = 20,83… Daraus folgt: 12,83 ª A (0; 4) ª 20,84 3. NÄHERUNG: W ir teilen das Intervall [0; 4] in acht gleich lange Teilintervalle (siehe Abb. 1.3). Untersumme = f (0,5) · 0,5 + f (1) · 0,5 + … + f (3,5) · 0,5 + f (4) · 0,5 = 14,28… Obersumme = f (0) · 0,5 + f (0,5) · 0,5 + … + f (3) · 0,5 + f (3,5) · 0,5 = 18,28… Daraus folgt: 14,28 ª A (0; 4) ª 18,29 1 2 f 4 0 1 f (x) x Abb. 1.1 1 4 0 1 f f (x) x Abb. 1.2 1 f 4 x 0 1 f (x) Abb. 1.3 a b f A (a, b) 0 2. A. 1. A. kompakt S. 22 a b f 0 2. A. 1. A. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 1 Stammfunktion und Integral 1.17 (Fortsetzung von 1.16) Wie genau kann A (0; 4) berechnet werden? LÖSUNG Wir teilen das Intervall [0; 4] in n gleich lange Teilintervalle. Die Teilungspunkte bezeichnen wir mit x 0 , x 1 , x 2 … x n , wobei x0 = 0 und x n = 4 ist. Die Länge eines Teilintervalles bezeichnen wir mit Δ x [sprich: Delta x]. Jedes Teilintervall hat die Länge Δ x = 4 _ n . Wir erhalten damit: Obersumme = f (x0) · Δ x + f(x1) · Δ x + f(x2) · Δ x+…+f(xn – 1) · Δ x Untersumme = f (x 1) · Δ x + f(x2) · Δ x+…+f(xn – 1) · Δ x + f(xn) · Δ x Obersumme – Untersumme = f (x0) · Δ x – f(xn) · Δ x = (f (x 0) – f (xn)) · Δ x = = (f(0) – f(4)) · Δ x = (10 – 2) · 4 _ n = 32 _ n Wir sehen: Der Unterschied zwischen Ober- und Untersumme kann beliebig klein gemacht werden, wenn man nur die Anzahl n der Teilintervalle genügend groß wählt. Somit kann A (0; 4) mit jeder gewünschten Genauigkeit berechnet werden. Allgemeine Beschreibung von Ober- und Untersummen R Da ähnliche Überlegungen wie bei der näherungsweisen Ermittlung eines Flächeninhalts im Folgenden häufig vorkommen werden, ist es sinnvoll, die verwendeten Begriffe allgemein (dh. ohne Rückgriff auf die anschauliche Vorstellung des Flächeninhalts) zu definieren. Wir sind von einer in einem Intervall [a; b] stetigen Funktion f ausgegangen, haben das Intervall in Teilintervalle zerlegt und zur erhaltenen Zerlegung eine Untersumme und eine Obersumme gebildet. Definition Unter einer Zerlegung Z des Intervalls [a; b] verstehen wir ein (n + 1)-Tupel Z = (x 0 1 x 1 1 x 2 1 … 1 x n)mita=x0 < x 1 < x 2 <…<xn = b. Definition Es sei f eine im Intervall [a; b] stetige Funktion und Z = (x 0 1 x 1 1 x 2 1 … 1 x n) eine Zerlegung von [a; b]. Die Längen der Teilintervalle [x 0 ; x 1 ], [x1 ; x 2 ], …, [xn – 1 ; x n ] seien Δ x 1 , Δ x 2 , …, Δ x n. Ferner seien m1 , m2 , … mn Minimumstellen und M1 , M2 , … Mn Maximumstellen von f in den jeweiligen Teilintervallen. Man setzt: Untersumme von f in [a; b] bei der Zerlegung Z: U f (Z) = f (m1 ) · Δ x 1 + f (m2 ) · Δ x 2 +…+f(mn ) · Δ x n = Σ i = 1 n f (m i ) · Δ x i Obersumme von f in [a; b] bei der Zerlegung Z: O f (Z) = f (M1 ) · Δ x 1 + f (M2 ) · Δ x 2 +…+f(Mn ) · Δ x n = Σ i = 1 n f (M i ) · Δ x i BEACHTE • Das in dieser Definition verwendete Summenzeichen ist so definiert: Σ i = 1 n a i = a 1 + a 2 + … + a n [Lies: Summe der a i für i gleich 1 bis n] • In dieser allgemeinen Definition wird nicht verlangt, dass die Teilintervalle gleich lang sind und dass die Funktion f nur nichtnegative Werte annimmt. Δx Δ 0 x x2 … … x 1 x 0 Δx 4 xn – 1 x n Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 1.2 Unter- und Obersummen, Integral Das Integral R Wir betrachten im Folgenden eine stetige reelle Funktion f, die im Intervall [a; b] nur nichtnegative Werte annimmt. Zu jeder Zerlegung von [a; b] können wir die Untersumme U und die Obersumme O von f in [a; b] bilden. Wenn wir an die näherungsweise Flächeninhaltsberechnung denken, dann sind die folgenden Aussagen anschaulich einleuchtend: • U ª O • Die Differenz O – U kann beliebig klein gemacht werden, wenn nur alle Teilintervalle der Zerlegung genügend klein sind. Man kann beweisen, dass diese beiden Aussagen nicht nur gelten, wenn U und O zur gleichen Zerlegung von [a; b] gehören, sondern auch, wenn U und O zu verschiedenen Zerlegungen von [a; b] gehören, und auch dann, wenn f negative Werte annimmt. Wir halten daher fest: Sei f eine in [a; b] stetige reelle Funktion. Ist U eine beliebige Untersumme und O eine beliebige Obersumme von f in [a; b], dann gilt: (1) U ª O (2) Die Differenz O – U kann beliebig klein gemacht werden, wenn nur die Teilintervalle der zugehörigen Zerlegungen genügend klein sind. Dies lässt vermuten, dass es genau eine reelle Zahl I gibt, sodass U ª I ª O für alle Untersummen U und alle Obersummen O von [a; b] gilt (selbst wenn diese zu verschiedenen Zerlegungen von [a; b] gehören). Auch diese Vermutung kann bewiesen werden. Die auf diese Weise eindeutig festgelegte Zahl I bekommt einen eigenen Namen: Definition (Integral) Es sei f eine im Intervall [a; b] stetige reelle Funktion. Die eindeutig bestimmte reelle Zahl I, die „zwischen“ allen Untersummen U und allen Obersummen O von f in [a; b] liegt (genauer: U ª I ª O), nennt man das (bestimmte) Integral von f in [a; b] und schreibt: I = ∫ a b f oder I = ∫ a b f (x) dx Bemerkungen zum Integralsymbol: • ∫ a b f wird gelesen: „Integral von f zwischen den Grenzen a und b (oder von a bis b)“. a heißt untere Grenze, b heißt obere Grenze des Integrals. • Die Funktion f bzw. der Funktionsterm f (x) wird Integrand genannt. • Die Variable x heißt Integrationsvariable. • Das Berechnen von Integralen nennt man Integrieren. • Die Bezeichnung der Integrationsvariablen hat keinen Einfluss auf den Wert des Integrals. Man kann daher die Integrationsvariable x durch jeden anderen Buchstaben ersetzen, zB: ∫ a b f(x)dx = ∫ a b f(t)dt = ∫ a b f(u)du = … U O Unterschied beliebig klein I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 1 Stammfunktion und Integral • Beim Symbol ∫ a b f (x) dxist im Gegensatz zum Symbol ∫ a b f die Integrationsvariable ersichtlich. Das ist oft von Vorteil. ZB muss man folgende Integrale unterscheiden: ∫ a b x 2 ydx bedeutet ∫ a b f (x) dx mit f (x) = x2 y (y konstant). Man sagt: „Es wird nach x integriert.“ ∫ a b x 2 ydy bedeutet ∫ a b g (y) dy mit g (y) = x2 y (x konstant). Man sagt: „Es wird nach y integriert.“ AUFGABEN 1.18 Gegeben ist das Integral ∫ 0 1 u – 1 _ 2 du. 1) Wie lautet der Integrand? 2) Wie lautet die Integrationsvariable? 3) Wie lautet die untere, wie die obere Grenze des Integrals? 4) Kreuze die beiden Integrale an, die die gleiche Zahl darstellen wie das gegebene Integral! ∫ 0 1 u – 1 _ 2 dy ∫ 0 1 y – 1 _ 2 dy ∫ 0 1 1 _ 2 ·(x – 1)dz ∫ 0 1 1 _ 2 ·(x –1)dx ∫ 1 0 ( x _ 2 – 1 _ 2 ) dx Darstellung eines Flächeninhalts als Integral R Es sei f eine in einem Intervall [a; b] stetige Funktion, die nur nichtnegative Werte annimmt, und A (a, b) der Inhalt der von f in [a; b] festgelegten Fläche. Die Unter- und Obersummen von f in [a; b] kann man als Summen der Inhalte von eingeschriebenen bzw. umgeschriebenen Rechtecken geometrisch deuten. Damit ist anschaulich klar, dass für alle Untersummen U und alle Obersummen O von f in [a; b] gilt: UªA(a,b)ªO Andererseits gilt aufgrund der Definition des Integrals für alle Untersummen U und alle Obersummen O von f in [a; b]: U ª ∫ a b f(x)dx ª O Da es genau eine reelle Zahl gibt, die „zwischen“ allen Untersummen U und allen Obersummen O von f in [a; b] liegt, muss gelten: A(a,b) = ∫ a b f (x) dx Satz (Flächeninhalt als Integral) Die reelle Funktion f sei in [a; b] stetig und es sei f (x) º 0 für alle x * [a; b]. Für den Inhalt A (a, b) der von f in [a; b] festgelegten Fläche gilt: A(a, b) = ∫ a b f (x) dx AUFGABEN R kompakt S. 22 f A (a, b) a b 0 f (x) x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 1.2 Unter- und Obersummen, Integral Integral als Verallgemeinerung eines Produkts R Ein Integral wird manchmal als eine Verallgemeinerung eines Produkts bezeichnet. Um dies zu verstehen, betrachten wir die Inhalte der beiden folgenden grün unterlegten Flächen: a 0 b A = a · b a 0 b (x) x A = ∫ 0 a b (x) dx In beiden Fällen ist die Länge a konstant. In der linken Abbildung ist auch die Breite b konstant. In der rechten Abbildung hängt die Breite b (x) jedoch von x ab und das Produkt a · b wird durch ∫ 0 a b (x) dx ersetzt. In diesem Sinn kann das Integral als eine Verallgemeinerung eines gewöhnlichen Produkts aufgefasst werden. AUFGABEN 1.19 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 1 + x2. 1) Schätze den Inhalt der von f im Intervall [0; 3] festgelegten Fläche durch Ober- und Untersummen ab, wobei das Intervall in 1, 3 bzw. 6 gleich lange Teilintervalle zerlegt wird! 2) Ermittle die Differenz von Ober- und Untersumme bei Zerlegung von [0; 3] in n gleich lange Teilintervalle! Wie groß muss n gewählt werden, damit diese Differenz kleiner als 0,01 wird? 1.20 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x _ x + 1 . 1) Stelle den Inhalt der von f im Intervall [0; 4] festgelegten Fläche durch ein Integral dar! 2) Berechne dieses Integral näherungsweise! Teile dazu das Intervall [0; 4] in vier gleich lange Teilintervalle und nimm den Mittelwert von Unter- und Obersumme als Näherungswert! 1.21 Gegeben ist eine reelle Funktion f: [0; 12] ¥ R. Der Inhalt A der Fläche, die vom Graphen von f, der x-Achse und den beiden Geraden x = 0 und x = 12 begrenzt wird, kann durch den Ausdruck U = 4 · (f(4) + f(8) + f(12)) näherungsweise berechnet werden (siehe Abbildung). Kreuze jene beiden Ausdrücke an, mit denen der Flächeninhalt A besser als mit dem Ausdruck U angenähert werden kann! x f 2 4 6 8 10 12 2 4 6 O f(x) 4 · (f(0) + f(4) + f(8)) 2 · (f(2) + f(4) + f(6) + f(8) + f(10) + f(12)) ∫ 0 12 f (x) dx f (4) · 8 f (0) · 12 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
16 1 Stammfunktion und Integral 1.3 Approximation des Integrals durch Summen Zwischensummen R Bei der Bildung einer Unter- bzw. Obersumme haben wir in jedem Teilintervall [x i – 1 ; x i ] (mit i = 1, 2, 3, …, n) eine Minimumstelle mi bzw. eine Maximumstelle Mi von f betrachtet. Man kann jedoch stattdessen in jedem Teilintervall eine beliebige Stelle ‾x i wählen und folgende Summe bilden: S = f (‾x 1) · Δ x 1 + f (‾x 2) · Δ x 2 + … f (‾x n) · Δ x n = Σ i = 1 n f (‾x i) · Δ x i Eine solche Summe wird oft als Zwischensumme bezeichnet. Nebenstehend ist ein Beispiel gezeichnet. Unter- und Obersummen sind Sonderfälle von Zwischensummen (nämlich solche, bei denen ‾x i jeweils eine Minimum- bzw. Maximumstelle von f im Teilintervall [xi – 1 ; x i ] ist). Gehören eine Untersumme U, eine Obersumme O und eine Zwischensumme S zur gleichen Zerlegung Z von [a; b], dann gilt: U ª S ª O (siehe Aufgabe 1.22) Da Unter- und Obersummen Näherungswerte für das Integral sind, sind auch Zwischensummen Näherungswerte für das Integral. Für eine Zwischensumme schreibt man oft kurz: S = Σ f (x) · Δ x. Für ein Integral gilt also die leicht einprägsame Beziehung: ∫ a b f (x) dx ≈ Σ f (x) · Δ x Merke Ein Integral ∫ a b f (x) dx ist näherungsweise gleich einer Summe von sehr vielen sehr kleinen Produkten der Form f (x) · Δ x. Kurz: ∫ a b f(x)dx ≈ Σ f (x) · Δ x 1.22 Sei f eine stetige reelle Funktion, die im Intervall [a; b] nur nichtnegative Werte annimmt. Beweise, dass für eine Untersumme U, eine Zwischensumme S und eine Obersumme O, die zur gleichen Zerlegung Z von [a; b] gehören, gilt: U ª S ª O. HINWEIS Benutze die Definitionen von U, O und S sowie f (mi) ª f (‾x i) ª f (Mi)! 1.23 Gegeben sei die Funktion f mit f (x) = 1 + 1 _ 2 x 2 und die Zerlegung Z = (0 1 1 1 2 1 3 1 4) des Intervalls [0; 4]. 1) Berechne die Untersumme U und die Obersumme O von f in [0; 4] bezüglich Z! 2) Berechne die Zwischensumme S, wobei in jedem Teilintervall der Mittelpunkt als Zwischenstelle genommen wird! Überprüfe die Beziehung U ª S ª O! f O S U x 2 x 1 x 3 x 4 _ _ _ _ x 2 x 1 x 0 x 3 x 4 a b 0 2. A. 1. A. AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
17 1.3 Approximation des Integrals durch Summen Approximation von Flächeninhalten durch Summen R Die Methode der näherungsweisen Berechnung von Flächen- inhalten durch Summen geht auf G. W. Leibniz (1646 – 1716) zurück. Er zerlegte die von einer Funktion f in einem Intervall [a; b] festgelegte Fläche in sehr dünne Streifen der Breite Δ x (siehe nebenstehende Abbildung). Für den Flächeninhalt Δ A eines solchen dünnen Streifens gilt: Δ A ≈ f (x) · Δ x Der Inhalt A (a, b) der von f in [a; b] festgelegten Fläche ist näherungsweise gleich der Summe dieser Flächeninhalte: A (a, b) ≈ Σ f (x)· Δ x Leibniz stellte sich nun vor, dass die Streifen immer dünner und dünner werden, wodurch sich die Summe auf der rechten Seite im Allgemeinen immer mehr dem Flächeninhalt A (a, b) annähert. Schließlich werden die Streifen „unendlich dünn“. Die „unendlich kleine“ Breite eines solchen Streifens bezeichnete Leibniz mit dx (siehe nebenstehende Abbildung). Dessen „unendlich kleiner“ Flächeninhalt beträgt somit f (x) · dx und der Gesamtflächeninhalt ist gleich der „Summe“ dieser „unendlich kleinen“ Streifeninhalte: A(a,b) = Σ f (x)· dx Dies ist allerdings keine gewöhnliche Summe, denn es handelt sich um eine „Summe aus unendlich vielen unendlich kleinen Gliedern“. Um auszudrücken, dass es sich dabei um keine gewöhnliche Summe handelt, haben Nachfolger von Leibniz das Summenzeichen zum Integralzeichen aufgebogen und statt A = Σ f (x)· dx geschrieben: A = ∫ a b f (x) dx Das Integralzeichen soll also in seiner gebogenen Form noch an ein „S“ für Summe und das dx an ein sehr kleines Δ x erinnern. Eine Flächenberechnung nach Leibniz läuft also in drei charakteristischen Schritten ab: Flächeninhaltsberechnung nach Leibniz 1. Schritt: Δ A ≈ f(x)· Δ x 2. Schritt: A(a,b) ≈ Σ f (x) · Δ x 3. Schritt: Diese Näherung wird im Allgemeinen umso genauer, je kleiner Δ x ist. Für Δ x ¥ 0 ergibt sich: A(a,b) = ∫ a b f (x) dx Dieses Vorgehen ist nicht sehr genau begründet und daher problematisch. Es lässt sich aber exakter begründen und führt im Allgemeinen bei praktischen Anwendungen zu keinen Fehlern. f f (x) Δ A Δ x x + Δ x x a b 0 d x f (x) f a b 0 f f (x) Δ A Δ x x + Δ x x a b 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
18 1 Stammfunktion und Integral 1.4 Berechnen von Integralen Berechnung mit Stammfunktionen R Bisher konnten wir Integrale nur näherungsweise mithilfe von Ober-, Unter- oder Zwischensummen berechnen. In diesem Abschnitt lernen wir eine bequemere Methode kennen, die häufig anwendbar ist. Satz Ist die reelle Funktion f im Intervall [a; b] stetig und ist F eine beliebige Stammfunktion von f, dann gilt: ∫ a b f (x) dx = F(b) – F(a) BEGRÜNDUNG Wir betrachten eine Zerlegung Z = (x 0 ‡ x 1 ‡ x 2 ‡ … ‡ x n) des Intervalls [a; b] und setzen Δ F i = F (x i + 1) – F (x i). In der Abbildung ist dies für eine streng monoton steigende Stammfunktion F veranschaulicht, die folgenden Überlegungen gelten aber auch, wenn F nicht monoton ist. Wir gehen in mehreren Schritten vor: 1. SCHRITT: Die Steigung von F in einem Teilungspunkt xi beträgt: F’(xi) ≈ Δ F i _ Δ x i Daraus folgt: Δ F i ≈ F’ (x i) · Δ x i = f (x i) · Δ x i 2. SCHRITT: Es gilt: F (b) – F (a) = Σ i = 1 n Δ F i ≈ Σ i = 1 n f (x i) · Δ x i 3. SCHRITT: Diese Näherung wird im Allgemeinen umso genauer, je kleiner die Längen Δ x i sind. Wenn die „Feinheit“ der Zerlegung (dh. die Länge des größten Teilintervalls) gegen 0 strebt, ergibt sich: F (b) – F (a) = ∫ a b f (x) dx 1.24 Berechne: ∫ 1 3 x2 dx LÖSUNG Eine Stammfunktion der Funktion f mit f (x) = x2 ist die Funktion F mit F (x) = x 3 _ 3 . Damit ergibt sich nach dem obigen Satz: ∫ 1 3 x 2 dx= F (3) – F (1) = 3 3 _ 3 – 1 3 _ 3 = 27 _ 3 – 1 _ 3 = 26 _ 3 Zur Abkürzung verwendet man folgende Schreibweise: F (x) | a b = [F (x)] a b = F(b) – F(a) Unter Verwendung dieser Schreibweisen sieht die Berechnung des Integrals in der letzten Aufgabe so aus: ∫ 1 3 x2 dx = x 3 _ 3 | 1 3 = 3 3 _ 3 – 1 3 _ 3 = 27 _ 3 – 1 _ 3 = 26 _ 3 oder ∫ 1 3 x 2 dx = [ x 3 _ 3 ] 1 3 = 3 3 _ 3 – 1 3 _ 3 = 27 _ 3 – 1 _ 3 = 26 _ 3 Integrale können auch mit Technologieeinsatz berechnet werden (siehe Seite 22). a x n – 1 x 1 x 2 x 0 x n b 0 F (x) x F Δ F 1 Δ x 1 Δ x 1 Δ x 2 Δ F 2 Δ F n Δ x n Δ x n Δ x 2 F (a) F (b) F (b) – F (a) kompakt S. 22 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
19 1.4 Berechnen von Integralen | | | | A UFGABEN 1.25 Berechne: a) ∫ – 2 2 d x [ = ∫ – 2 2 1 dx ] c) ∫ – 1 1 x dx e) ∫ – 2 2 x 2 dx g) ∫ 1 2 1 _ x 3 dx i) ∫ 1 2 1 _ x 4 dx b) ∫ 1 10 1 _ x dx d) ∫ – 1 2 x 3 dx f) ∫ – 2 1 x 4 dx h) ∫ 1 4 � _ x dx j) ∫ 4 9 x _ � _ x dx 1.26 Berechne: a) ∫ 0 1 e x dx c) ∫ 0 2 (e x + 2) dx e) ∫ 0 1 (2 x + 3 x) dx g) ∫ 1 e 1 _ x dx b) ∫ 0 π sin x dx d) ∫ – π _ 2 π _ 2 cos x dx f) ∫ 0 π _ 2 (2 + sin x) dx h) ∫ π 2 π cos x dx 1.27 Für welche Werte von a * R+ gilt: a) ∫ 0 2 a x dx = 6 b) ∫ – a a x 2 dx = 18 c) ∫ 0 a e x dx = 3 d) ∫ 0 a (x + 3) dx = 8 1.28 Berechne: a) ∫ 0 2 t 2z dz b) ∫ 0 2 t 2z dt c) ∫ 1 2 x 2 _ y 2 dx d) ∫ 1 2 x 2 _ y 2 dy e) ∫ 1 2 x 2 _ t dt 1.29 Gegeben ist eine Funktion f: R ¥ R mit f (x) = a x3 + 3 und a * R. Bestimme a so, dass die Gleichung ∫ – 2 0 f (x) dx= 1 erfüllt ist! a = 1.30 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion G einer Polynomfunktion g. Berechne: a) ∫ – 1 1 g (x) dx = b) ∫ 3 5 g (x) dx = x G –2 1 2 3 4 5 6 2 1 4 5 3 G(x) –2 –1 –1 1.31 Zeichne den Graphen einer linearen Funktion f mit: a) ∫ – 3 3 f (x) dx= 0 b) ∫ – 2 2 f (x) dx = 6 1.32 Eine Polynomfunktion f hat die Ableitungsfunktion f’ und die Stammfunktion F. Kreuze jene beiden Aussagen an, die auf jeden Fall zutreffen! Die Ableitungsfunktion f’ ist eindeutig bestimmt. Der Ausdruck F (a) gibt die Steigung der Funktion f an der Stelle a für alle a * R an. Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt: F = f’ Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt: ∫ 1 2 F (x) dx = f(2) – f (1) Es gilt F’ (a) = f (a) für alle a * R. AUFGABEN R Ó Lernapplet qk777f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
20 1 Stammfunktion und Integral 1.5 Sätze über Integrale Grundlegende Sätze R Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass jede stetige Funktion eine Stammfunktion besitzt. Dass dies zutrifft, werden wir im Kapitel 3 genauer begründen. Satz Die reelle Funktion f sei im Intervall [a; b] stetig und es sei c * R. Dann gilt: ∫ a b c · f = c · ∫ a b f BEWEIS Ist F eine Stammfunktion von f, dann ist c · F eine Stammfunktion von c · f. Damit gilt: ∫ a b c·f=(c·F)(b)–(c·F)(a)=c·F(b)–c·F(a)=c·[F(b)–F(a)]=c·∫ a b f Satz Die reellen Funktionen f und g seien im Intervall [a; b] stetig. Dann gilt: ∫ a b (f + g) = ∫ a b f + ∫ a b g BEWEIS Sind F und G Stammfunktionen von f bzw. g, dann ist F + G eine Stammfunktion von f + g. Damit gilt: ∫ a b (f + g) = (F + G)(b) – (F + G)(a) = [F(b) + G(b)] – [F(a) + G(a)] = = [F(b) – F(a)] + [G(b) – G(a)] = ∫ a b f + ∫ a b g Satz Die reelle Funktion f sei im Intervall [a; c] stetig und es sei a < b < c. Dann gilt: ∫ a b f + ∫ b c f = ∫ a c f BEWEIS Ist F eine Stammfunktion von f, dann gilt: ∫ a b f + ∫ b c f = [F(b) – F(a)] + [F(c) – F(b)] = F(c) – F(a) = ∫ a c f Dieser Satz ist anschaulich einleuchtend, wenn man die Integrale wie in der Abbildung als Flächeninhalte deutet. 1.33 Die Funktionen f und g seien im Intervall [a; b] stetig und es seien c, d * R. Beweise: a) ∫ a b (–f) = – ∫ a b f b) ∫ a b (c·f+d·g)=c·∫ a b f+d·∫ a b g c) ∫ a b (c·f–d·g)=c·∫ a b f–d·∫ a b g b a c f AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
21 1.5 Sätze über Integrale 1.34 Berechne möglichst geschickt: a) ∫ 0 π _ 2 sinxdx + ∫ π _ 2 π sin x dx b) ∫ 0 1 e x dx + ∫ 1 2 e x dx c) ∫ 1 e (2 x + 2 _ x ) dx + ∫ e 2 e (2 x + 2 _ x ) dx 1.35 Berechne möglichst geschickt: a) ∫ 0 1 2(x –1)dx + ∫ 0 1 (x – 1)dx – ∫ 0 1 x – 1 _ 2 dx c) ∫ 0 π _ 4 (sin x + cos x) dx + ∫ 0 π _ 4 sinxdx – ∫ 0 π _ 4 cos x dx b) ∫ 1 4 3 · 2x – 1 dx – ∫ 1 4 2 x – 1 dx – ∫ 1 4 2 x dx d) ∫ 1 e 1 _ x dx + ∫ 1 e 2 _ x dx + ∫ 1 e 3 _ x dx + ∫ 1 e 4 _ x dx 1.36 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F einer Polynomfunktion f. Weiters ist die Funktion g: R ¥ R mit g (x) = f (x) + 3 gegeben. Ergänze! a) ∫ 2 4 f (x) dx = c) ∫ 4 6 g (x) dx = b) f (0) = d) g (4) = Integranden der Form f (k · x) R Satz Besitzt die Funktion x ¦ f (x) eine Stammfunktion x ¦ F (x), dann besitzt die Funktion x ¦ f (k · x) (mit k ≠ 0) die Stammfunktion x ¦ 1 _ k · F (k · x). BEWEIS G(x) = 1 _ k ·F(k·x) w G’(x) = 1 _ k ·F’(k·x)= 1 _ k ·k·f(k·x)=f(k·x) BEISPIEL ∫ 0 π _ 2 sin (2 x) dx= 1 _ 2 · [– cos (2 x)] | 0 π _ 2 = 1 _ 2 · (– cos π + cos0) = 1 _ 2 ·(1+1)=1 1.37 Berechne: a) ∫ 0 π cos (3 t) dt b) ∫ 0 π sin ( 1 _ 2 t) dt c) ∫ π _ 2 π sin (2 t) dt d) ∫ 0 2 π cos ( 1 _ 4 t) dt 1.38 Berechne: a) ∫ 0 4 e 2 x dx b) ∫ 0 8 5·e– x dx c) ∫ 0 1 3 2 x dx d) ∫ – 1 1 3·2– x dx 1.39 Für welche a mit 0 ª a ª 2 π gilt: a) ∫ 0 a sin (2 x) = 1 _ 2 b) ∫ 0 a cos x _ 2 = 2 c) ∫ 0 2 a sin x _ 2 = 2 x F –2 2 4 6 2 4 O F(x) –2 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
22 1 Stammfunktion und Integral Eine Stammfunktion einer Funktion f ermitteln GEOGEBRA CASIO CLASS PAD II CAS-Ansicht: Eingabe: f (x) ÷= Funktionsterm – Werkzeug Eingabe: Integral (f) – Werkzeug oder Ausgabe ¥ Funktionsterm einer Stammfunktion von f BEMERKUNG Der Funktionsterm wird in der Form F (x) + c ausgegeben (unbestimmtes Integral, siehe Kapitel 3). Um eine Stammfunktion zu ermitteln, kann man zB c = 0 setzen. Iconleiste – Main – Menüleiste – Aktion – Berechnungen – : – Eingabe: Funktionsterm – E oder Iconleiste – Main – k – 9 – P – 1. Feld: Funktionsterm – 2. Feld: x E Ausgabe ¥ Funktionsterm einer Stammfunktion von f BEMERKUNG Das CPII führt bei einem unbestimmten Integral die Integrationskonstante c nicht an (c = 0). Unter- und Obersummen einer Funktion f in [a; b] ermitteln GEOGEBRA CASIO CLASS PAD II Grafik-Ansicht: Eingabe: f (x) ÷= Funktionsterm ENTER Eingabe: Untersumme (f, a, b, n) ENTER bzw. Eingabe: Obersumme (f, a, b, n) ENTER Ausgabe ¥ Grafische Darstellung der eingeschriebenen bzw. umschriebenen Rechtecke bei Zerlegung des Intervalls [a; b] in n gleich große Teilintervalle Ausgabe ¥ Unter- bzw. Obersumme Iconleiste – Main – k – - Define f (x) = Funktionsterm E Eingabe: u (n) = b – a _ n × Σ i = 0 n – 1(f (a + i × b – a _ n )) bzw. Eingabe: o (n) = b – a _ n × Σ i = 1 n (f (a + i × b – a _ n )) Ausgabe ¥ Unter- bzw. Obersumme einer im Intervall [a; b] monoton steigenden Funktion f bei Zerlegung des Intervalls in n gleich große Teilintervalle (Bestimmtes) Integral einer Funktion f in [a; b] ermitteln GEOGEBRA CASIO CLASS PAD II CAS-Ansicht: Eingabe: f (x) ÷= Funktionsterm – Werkzeug Eingabe: Integral (f, a, b) – Werkzeug bzw. Eingabe: Integral (f, x, a, b) – Werkzeug Ausgabe ¥ Bestimmtes Integral von f in [a; b] Iconleiste – Main – Menüleiste – Aktion – Berechnungen – : – Eingabe: Funktionsterm, x, a, b E Ausgabe ¥ Bestimmtes Integral der Funktion f in [a; b] Darstellung eines Flächeninhalts als Integral GEOGEBRA CASIO CLASS PAD II Grafik-Ansicht: Eingabe: f (x) = Funktionsterm ENTER Eingabe: Integral (f, a, b) ENTER Ausgabe ¥ Grafische Darstellung der von f in [a; b] festgelegten Fläche Iconleiste – Menu – Grafik & Tabelle – Eingabe: Funktionsterm E Symbolleiste – $ – Menüleiste – Analyse – Grafische Lösung – Integral – : dx – 1 – Unterer: a – Oberer: b – OK Ausgabe ¥ Grafische Darstellung der von f in [a; b] festgelegten Fläche BEMERKUNG Es ist darauf zu achten, dass f in [a; b] nur nichtnegative Werte annimmt! TECHNOLOGIE KOMPAKT R Ó TI-Nspire kompakt pw3ws6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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