100 6 TESTEN VON ANTEILEN Vorgehen bei einem rechtsseitigen [bzw. linksseitigen] Anteilstest 1. Schreibe eine Nullhypothese H 0 und eine Alternativhypothese H1 in folgender Form an: H 0:p=p0 und H 1:p>p0 [ bzw. H1:p<p0 ] 2. Lege die gewünschte Signifikanzzahl α fest! 3. Bestimme den Wert k der untersuchten Häufigkeit H in einer Stichprobe vom Umfang n! 4. Nimm an, dass die Nullhypothese gilt, und berechne unter dieser Annahme die Irrtumswahrscheinlichkeit P (H º k) [ bzw. P (H ª k) ]! 5. Ist diese Irrtumswahrscheinlichkeit kleiner oder gleich α, kann die Nullhypothese verworfen werden. BEMERKUNG Die Signifikanzzahl α muss aufgrund sachlicher Überlegungen vor der Erhebung der Stichprobe oder zumindest unabhängig von einem vorliegenden Stichprobenergebnis festgelegt werden. Andernfalls könnte man zB so manipulieren: Man bestimmt zuerst ein Stichprobenergebnis, ermittelt die zugehörige Irrtumswahrscheinlichkeit und legt anschließend α so groß fest, dass die ermittelte Irrtumswahrscheinlichkeit kleiner oder gleich α ist. Auf diese Art könnte man jede beliebige Nullhypothese verwerfen. Das wäre aber sinnlos. 6.02 Eine Stadtverwaltung behauptet, dass die Geschwindigkeitsbeschränkung in der Domstraße von 25 % der Autos nicht beachtet wird. Eine Journalistin hält dies für übertrieben, weil in einer Stichprobe von 300 durch die Domstraße fahrenden Autos nur 70 (also weniger als 25 %) zu schnell fuhren. Gib an, ob die Journalistin die Behauptung der Stadtverwaltung mit der Signifikanzzahl 0,05 verwerfen kann! LÖSUNG Es sei p der relative Anteil der Autos, die in der Domstraße zu schnell fahren. Wir führen einen linksseitigen Anteilstest durch: 1. N ullhypothese H0: p = 0,25 Alternativhypothese H1: p < 0,25 (Behauptung der Stadtverwaltung) (Vermutung der Journalistin) 2. Signifikanzzahl α = 0,05 3. S tichprobenergebnis: k = 70 4. Falls die Nullhypothese H 0 gilt, ist die absolute Häufigkeit H der in der Domstraße zu schnell fahrenden Autos binomialverteilt mit n = 300 und p = 0,25. Mit Technologieeinsatz erhalten wir die Irrtumswahrscheinlichkeit P (H ª 70) ≈ 0,2767. 5. W egen P (H ª 70) > α kann die Nullhypothese H 0 nicht mit α = 0,05verworfen werden. In der nebenstehenden Abbildung ist ein rechtsseitiger Anteilstest mit binomialverteiltem H veranschaulicht. Dabei entspricht die Summe der Längen der blauen Stäbe der Irrtumswahrscheinlichkeit P (H º k). • Ist P(H º k) ª α, dann darf H0 verworfen werden. • Ist P(H º k) > α, dann kann H0 nicht verworfen werden. ai P(H = a) k 0,1 0,2 0 P (H º k) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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