106 6 TESTEN VON ANTEILEN 6.3 Kritische Werte Kritische Werte bei einseitigen Anteilstests L Definition Der zur Signifikanzzahl α gehörige kritische Wert ist • b ei einem rechtsseitigen Anteilstest die Zahl k 0 mit P (H º k 0) = α, • bei einem linksseitigen Anteilstest die Zahl k 0 mit P (H ª k 0) = α. Arbeitet man mit einer Binomialverteilung für H, lässt sich die Bedingung P (H º k 0) = α bzw. P (H ª k 0) = α nicht exakt erfüllen, weil ein binomialverteiltes H nur ganzzahlige Werte annehmen kann. Bei Technologieeinsatz wird k0 oft automatisch auf Ganze gerundet. Daher ermitteln wir im Folgenden kritische Werte im Allgemeinen mithilfe der approximierenden Normalverteilung (wie nachfolgend dargestellt). k k 0 α H 0 kann nicht verworfen werden H 0 kann verworfen werden P(H º k) k k 0 α H 0 kann nicht verworfen werden H 0 kann verworfen werden P(H ª k) 6.20 Durch einen Chemieunfall ist Gift in einen Teich gelangt. Ein Vertreter der chemischen Industrie behauptet, dass durch den Unfall nur 20 % der Fische in diesem Teich vergiftet wurden. Ein Umweltschützer vermutet, dass dieser Anteil höher ist. Gib an, wie viele vergiftete Fische der Umweltschützer in einer Stichprobe vom Umfang 100 mindestens vorfinden muss, um die Behauptung des Industrievertreters mit der maximal zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verwerfen zu können! LÖSUNG H 0: p = 0,2 H 1: p > 0,2 (Behauptung des Industrievertreters) (Vermutung des Umweltschützers) Wenn die Nullhypothese H 0 gilt, ist die Häufigkeit H der vergifteten Fische in Stichproben vom Umfang 100 binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,2. Wegen n · p · (1 – p) = 16 > 9 können wir diese Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit den Parametern μ =n·p=20undσ = � _n · p · (1 – p) = 4ersetzen. Wir ermitteln nun k0 so, dass gilt: P (H º k 0) = 0,05 Mit Technologieeinsatz erhalten wir: k 0 ≈ 26,58 Der Umweltschützer muss also mindestens 27 vergiftete Fische vorfinden, um die Behauptung des Industrievertreters mit der maximal zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 verwerfen zu können. μ k0 H0 kann nicht verworfen werden H0 kann verworfen werden 0,05 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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