11 1.2 Unter- und Obersummen, Integral 1.2 Unter- und Obersummen, Integral Näherungsweises Berechnen von Flächeninhalten R Die Funktion f nehme im Intervall [a; b] nur nichtnegative Werte an. Die in der nebenstehenden Abbildung grün unterlegte Fläche bezeichnen wir kurz als die von f in [a; b] festgelegte Fläche. Deren Inhalt bezeichnen wir mit A f (a, b) oder kurz mit A (a, b). Wir kennen keine Formel zur Berechnung eines solchen Flächeninhalts, können diesen aber näherungsweise berechnen, indem wir das Intervall [a; b] in Teilintervalle zerlegen. Über den Teilintervallen errichten wir Rechtecke, die der betrachteten Fläche ein- bzw. umgeschrieben sind. Die Summe der Inhalte der eingeschriebenen (umgeschriebenen) Rechtecke nennen wir kurz eine Untersumme (Obersumme) für A (a, b). Durch die Untersumme (Obersumme) erhalten wir eine untere (obere) Schranke für A (a, b). Untersumme und Obersumme schätzen den Flächeninhalt A(a, b) im Allgemeinen umso genauer ab, in je mehr Teilintervalle [a; b] zerlegt wird. Dies zeigt die folgende Aufgabe: 1.16 Ermittle näherungsweise den Inhalt der Fläche, die von der Funktion f mit f (x) = 10 _ x + 1 im Intervall [0; 4] festgelegt wird! LÖSUNG 1. NÄHERUNG: Wir fügen in das Intervall [0; 4] keinen Teilungspunkt ein (siehe Abb. 1.1). Untersumme = f (4) · 4 = 2 · 4 = 8 Obersumme = f (0) · 4 = 10 · 4 = 40 Daraus folgt: 8 ª A (0; 4) ª 40 2. NÄHERUNG: W ir teilen das Intervall [0; 4] in vier gleich lange Teilintervalle (siehe Abb. 1.2). Untersumme = f (1) · 1 + f (2) · 1 + f (3) · 1 + f (4) · 1 = 12,83… (Rechne nach!) Obersumme = f (0) · 1 + f (1) · 1 + f (2) · 1 + f (3) · 1 = 20,83… Daraus folgt: 12,83 ª A (0; 4) ª 20,84 3. NÄHERUNG: W ir teilen das Intervall [0; 4] in acht gleich lange Teilintervalle (siehe Abb. 1.3). Untersumme = f (0,5) · 0,5 + f (1) · 0,5 + … + f (3,5) · 0,5 + f (4) · 0,5 = 14,28… Obersumme = f (0) · 0,5 + f (0,5) · 0,5 + … + f (3) · 0,5 + f (3,5) · 0,5 = 18,28… Daraus folgt: 14,28 ª A (0; 4) ª 18,29 1 2 f 4 0 1 f (x) x Abb. 1.1 1 4 0 1 f f (x) x Abb. 1.2 1 f 4 x 0 1 f (x) Abb. 1.3 a b f A (a, b) 0 2. A. 1. A. kompakt S. 22 a b f 0 2. A. 1. A. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MTA2NTcyMQ==