112 7.1 Differenzengleichungen Rekursive Darstellungen L BEISPIEL 1 Lineares Wachsen Es ist Pn die Größe einer linear wachsenden Population zum Zeitpunkt n (n in Jahren). Zu Beginn ist die Populationsgröße gleich d, pro Jahr wächst sie um den konstanten Betrag k. P 0 = d und P n + 1 = P n + k für n = 0, 1, 2, … Man bezeichnet diese Darstellung als rekursive Darstellung des linearen Wachstumsprozesses. Ausgehend von der Anfangsbedingung P 0 = d kann man mithilfe der Rekursionsgleichung P n + 1 = P n + k der Reihe nach die Werte P 1 , P 2 , P 3 , … berechnen. Neben der rekursiven Darstellung kann man auch eine Termdarstellung für P n angeben: P n = k · n + d für n * ℕ 7.01 Für das Wachstum der Population im Beispiel 1 gelte: d = 1 000 und k = 400. Berechne P n für n = 0, 1, 2, 3 a) mithilfe der rekursiven Darstellung, b) mithilfe der Termdarstellung! LÖSUNG Rekursive Darstellung: Termdarstellung: P 0 = 1 000 P 1 = P 0 + 400 = 1 000 + 400 = 1 400 P 2 = P 1 + 400 = 1 400 + 400 = 1 800 P 3 = P 2 + 400 =1800 + 400 = 2200 P 0 = 1 000 + 0 · 400 = 1 000 P 1 = 1 000 + 1 · 400 = 1 400 P 2 = 1 000 + 2 · 400 = 1 800 P 3 = 1 000 + 3 · 400 = 2 200 7.02 Jasmin hat derzeit 50 € in ihrem Sparschwein. Sie nimmt sich vor, jede Woche 5 € in das Sparschwein zu werfen. Beschreibe diesen Vorgang linearen Wachsens für n = 0, 1, 2, 3 a) mithilfe der rekursiven Darstellung, b) mithilfe der Termdarstellung! LÖSUNG Rekursive Darstellung: Termdarstellung: P 0 = 50 P 1 = P 0 + 5 = 50 + 5 = 55 P 2 = P 1 + 5 = 55 + 5 = 60 P 3 = P 2 + 5 = 60 + 5 = 65 P 0 = 50 + 0 · 5 = 50 P 1 = 50 + 1 · 5 = 55 P 2 = 50 + 2 · 5 = 60 P 3 = 50 + 3 · 5 = 65 d k k k k 1 2 3 4 n (in Jahren) 0 Pn DIFFERENZEN- UND DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 7 GRUNDKOMPETENZEN Einfache Differentialgleichungen, insbesondere f ’ (x) = k · f (x), lösen können. AN-L 1.5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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