113 7.1 Differenzengleichungen BEISPIEL 2 Exponentielles Wachsen Es ist Pn die Größe einer exponentiell wachsenden Population zum Zeitpunkt n (n in Jahren). Zu Beginn ist die Populationsgröße gleich c, pro Jahr wächst sie mit dem konstanten Faktor a > 1. Rekursive Darstellung: P 0 = c und P n + 1 = P n · a für n = 0, 1, 2, … Termdarstellung: P n =c·a n für n * ℕ 7.03 Für das Wachstum der Population im Beispiel 2 gelte: c = 1 000 und a = 1,2. Berechne P n für n = 0, 1, 2, 3 a) mithilfe der rekursiven Darstellung, b) mithilfe der Termdarstellung! LÖSUNG Rekursive Darstellung: Termdarstellung: P 0 = 1 000 P 1 = P 0 · 1,2 = 1 000 · 1,2 = 1 200 P 2 = P 1 · 1,2 = 1 200 · 1,2 = 1 440 P 3 = P 2 · 1,2 = 1 440 · 1,2 = 1 728 P 0 = 1 000 P 1 = 1 000 · 1,2 1 = 1 200 P 2 = 1 000 · 1,2 2 = 1 440 P 3 = 1 000 · 1,2 3 = 1 728 BEISPIEL 3 Medikamentengabe Ein Patient erhält jeden Tag, beginnend mit dem Tag 0, zur selben Uhrzeit eine Injektion. Dadurch erhöht sich die Masse des Wirkstoffs in seinem Blut stets um q mg. Von einer Injektion bis zur nächsten werden jedoch jeweils p % der unmittelbar nach der Injektion im Blut vorhandenen Wirkstoffmasse abgebaut. Mit m n bezeichnen wir die im Blut vorhandene Wirkstoffmasse am Tag n unmittelbar nach der Injektion. Eine rekursive Darstellung für die Wirkstoffmasse m n im Blut sieht so aus: m 0 = q und m n + 1 = (1 – p _ 100 ) · m n + q für n = 0, 1, 2, … Eine Termdarstellung ist in diesem Beispiel schwierig zu finden. Wir verzichten hier darauf. 7.04 Berechne im Beispiel 3 die Wirkstoffmassen m n im Blut für n = 0, 1, 2, 3 mit p = 70 und q = 200! LÖSUNG m 0 = 200 (mg) m 1 = 0,3 · m0 + 200 = 0,3 · 200 + 200 = 260 (mg) m 2 = 0,3 · m1 + 200 = 0,3 · 260 + 200 = 278 (mg) m 3 = 0,3 · m2 + 200 = 0,3 · 278 + 200 = 283,4 (mg) Allgemein besteht eine rekursive Darstellung einer Folge (x0 , x 1 , x 2 , …) wie in den Beispielen 1, 2 und 3 aus einer Anfangsbedingung x 0 = m und einer Rekursionsgleichung xn + 1 = f (xn). Die Anfangsbedingung legt das erste Glied der Folge fest, mithilfe der Rekursionsgleichung kann man zu jedem Glied x ndas nächste Glied x n + 1 berechnen. Die Folge (x0 , x 1 , x 2 , …) bezeichnet man als Lösung dieser Rekursionsgleichung mit der gegebenen Anfangsbedingung. BEMERKUNG • Eine Gleichung der Form x n + 1= f (x n) heißt Rekursionsgleichung. • Eine Gleichung der Form x n + 1 – x n = f (xn) heißt Differenzengleichung. Diese beiden Begriffe werden jedoch meist synonym gebraucht, weil man beide Gleichungen ineinander umformen kann: x n + 1 = f (x n) w x n + 1 – x n = f (x n) – x n = g (x n) bzw. x n + 1 – x n = g (x n) w x n + 1 = g (x n) + x n = f (x n) c 1 2 3 4 5 6 n (in Jahren) 0 Pn P0 P1 P2 P3 P4 kompakt Seite 118 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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