115 7.2 Differentialgleichungen 7.2 Differentialgleichungen Lineares und exponentielles Wachsen bzw. Abnehmen L Manche Prozesse lassen sich auch mithilfe von Ableitungen beschreiben. Zum Beispiel: Lineares Wachsen (Abnehmen): P (t) = k · t + d w P ’ (t) = k Exponentielles Wachsen (Abnehmen): P (t) = c · e k t w P ’ (t) = c · k · e k t =k·c·ek t = k · P (t) Lineares Wachsen (Abnehmen) lässt sich also durch die „Differentialgleichung“ P ’(t) = k mit der „Anfangsbedingung“ P (0) = d beschreiben (Wachsen für k > 0, Abnehmen für k < 0). Exponentielles Wachsen (Abnehmen) lässt sich durch die „Differentialgleichung“ P’ (t) = k · P (t) mit der „Anfangsbedingung“ P (0) = c (Wachsen für k > 0, Abnehmen für k < 0). Allgemein versteht man unter einer Differentialgleichung für eine Funktion f: x ¦ f (x) eine Gleichung, in der (erste oder höhere) Ableitungen von f auftreten. Jede Funktion f, für die die vorgegebene Differentialgleichung gilt, nennt man eine Lösungsfunktion oder kurz Lösung der Differentialgleichung. Durch Angabe geeigneter Anfangsbedingungen lassen sich spezielle Funktionen aus der Menge aller Lösungen auswählen. Merke Die Lösungen einer Differentialgleichung sind keine Zahlen, sondern Funktionen. Anhand der obigen Überlegungen zum linearen und exponentiellen Wachsen sieht man: • Eine lineare Funktion f mit f(x)=k·x+d genügt der Differentialgleichung f’(x) = k (mit k * ℝ). • Eine Exponentialfunktion f mit f(x) = c·ek x genügt der Differentialgleichung f’ (x) = k · f (x) (mit k * ℝ). Sofern f in einem Intervall definiert und differenzierbar ist, sind die genannten linearen bzw. exponentiellen Funktionen sogar die einzigen Lösungen der jeweiligen Differentialgleichung. Dies wird in dem folgenden Satz bewiesen. Satz Für eine in einem Intervall definierte, differenzierbare Funktion f gilt: (1) f’(x) = k É f(x)=k·x+d (k, d * ℝ) (2) f’ (x) = k · f (x) É f(x) = c·ek · x (k, c * ℝ) BEWEIS Jede der beiden Behauptungen ist eine Äquivalenz und muss daher in beiden Richtungen bewiesen werden. (1) • E sgilt:f(x)=k·x+d w f’(x) = k . • E s gilt: f’ (x) = k w f (x) = ∫ f’ (x) dx = ∫ kdx=k·x+d (2) • E s gilt: f(x) = c·ek x w f’ (x) = c · k · e k x =k·c·ek x = k · f (x) • Wir zeigen jetzt, dass auch umgekehrt gilt: f’ (x) = k · f (x) w f(x) = c·ek · x Dazu betrachten wir die Funktion g mit g (x) = f (x) · e– k x und berechnen deren Ableitung: g’ (x) = f’ (x) · e– k x + f(x)·(–k)·e– k x = [f’(x) – k·f (x)] · e– k x D a laut Voraussetzung f’ (x) – k · f (x) = 0 gilt, folgt daraus: g’ (x) = 0. Da g wie f in einem Intervall definiert ist, muss g eine konstante Funktion sein: g (x) = f (x) · e– k x = c (mit c * ℝ) Daraus folgt: f (x) = c · ek x kompakt Seite 118 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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