116 7 Differenzen- und Differentialgleichungen 7.10 Die Funktion f: ℝ ¥ ℝ genügt der angegebenen Differentialgleichung. Ermittle die Lösung dieser Differentialgleichung mit der angegebenen Anfangsbedingung für f (0)! a) f’(x) = 1 _ 2 , f(0) = 1 b) f’ (x) = – 2 · f (x), f (0) = 1 _ 2 LÖSUNG a) f (x) = 1 _ 2 · x + d Aus f (0) = 1 folgt d = 1. Somit gilt: f (x) = 1 _ 2 ·x+1 b) f (x)=c·e– 2 x Aus f (0) = 1 _ 2 folgt c = 1 _ 2 . Somit gilt: f (x) = 1 _ 2 · e – 2 x 7.11 Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f: ℝ ¥ ℝ, die die angegebene Differentialgleichung mit der angegebenen Anfangsbedingung für f (0) erfüllt und skizziere ihren Graphen! a) f’(x) = – 3 _ 4 , f(0) = – 4 _ 5 b) f’(x) = f(x), f(0) = 1 _ 2 c) f’(x) = – 1 _ 2 ·f(x), f(0) = –1 7.12 Die Funktion f: ℝ ¥ ℝ 1 x ¦ c · a x (mit c * ℝ*, a * ℝ +) ist eine Lösung der Differentialgleichung f’ (x) = k · f (x) (mit k * ℝ). Drücke a durch k aus! 7.13 Die Funktion f: ℝ ¥ ℝ ist eine Lösung der Differentialgleichung f’ (x) = k. Für welche Werte von k beschreibt f einen Wachstumsprozess, für welche einen Abnahmeprozess? 7.14 Die Funktion f: ℝ ¥ ℝ ist eine Lösung der Differentialgleichung f’ (x) = k · f (x), wobei f (0) > 0 ist. Für welche Werte von k beschreibt f einen Wachstumsprozess, für welche einen Abnahmeprozess? 7.15 Es sei A (t) die Anzahl der Bakterien in einer Kultur zum Zeitpunkt t (t in Stunden). Die Funktion A erfüllt näherungsweise die Differentialgleichung A’ (t) = 5 · A (t). Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Die Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienanzahl wächst linear mit der Zeit. Die Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienanzahl wächst exponentiell mit der Zeit. Die Bakterienanzahl wächst linear mit der Zeit. Die Bakterienanzahl wächst exponentiell mit der Zeit. Die Bakterienanzahl verdoppelt sich ungefähr alle 5 Stunden. 7.16 Kreuze die beiden Funktionen an, die der Differentialgleichung f’’ (x) = – f (x) genügen! f (x) = x 2 f (x) = e x f (x) = cos (x) f (x) = sin (2 x) f (x) = sin (x) – cos (x) 7.17 Wird ein Körper mit der Temperatur A in einen Raum mit der konstant gehaltenen Temperatur B < A gebracht, so kühlt er ab. Ist T (t) die Temperatur des Körpers zum Zeitpunkt t (in Minuten nach Beginn des Vorgangs), so nimmt die Temperaturdifferenz T (t) – B exponentiell ab. 1) Stelle eine Formel für T (t) auf, wenn die Differenz T (t) – B pro Minute um 1 _ 10 ihres Betrages sinkt! 2) Gib die Änderungsgeschwindigkeit T’ (t) der Temperatur zum Zeitpunkt t an! 3) Prüfe, ob T die Differentialgleichung T’ (t) = k · T (t) für ein k * ℝ erfüllt! Ó Applet qm8w8d AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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