117 7.2 Differentialgleichungen Wachstum bei Beschränkung L Es sei N (t) die Größe einer wachsenden Population zum Zeitpunkt t. Bei linearem Wachsen geht man davon aus, dass die Änderungsrate N’ (t) konstant ist, bei exponentiellem Wachsen hingegen, dass N’ (t) direkt proportional zu N (t) ist. Beide Annahmen führen aber dazu, dass die Populationsgröße N (t) irgendwann unrealistisch groß wird. Hält man es dagegen für zutreffend, dass die Populationsgröße N (t) durch eine Konstante K nach oben beschränkt ist, ist es besser anzunehmen, dass N’ (t) direkt proportional sowohl zu N (t) als auch zum noch vorhandenen „Wachstumsfreiraum“ K – N (t) ist. Bezeichnen wir den Proportionalitätsfaktor mit a, liefert dies folgende Differentialgleichung N’ (t) = a · N (t) · [K – N (t)] Diese Differentialgleichung beschreibt ein kontinuierliches logistisches Wachstum, das wir schon in Mathematik verstehen 6 (Seite 84) kennengelernt haben. Man kann zeigen, dass die Lösung dieser Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung N (0) = N 0 die folgende Form hat: N (t) = K · N 0 ___ N 0 + (K – N 0 ) · e – a K t Der typische Verlauf des Graphen einer solchen Lösungsfunktion ist hier dargestellt. N 0 0 K N(t) t AU 7.18 Zeige durch Nachrechnen, dass die Funktion N mit N (t) = K · N 0 ___ N 0 + (K – N0 ) · e – a K t die Differentialgleichung N’ (t) = a · N (t) · [K – N (t)] mit der Anfangsbedingung N (0) = N0 erfüllt und somit eine Lösung dieser Differentialgleichung ist! 7.19 Ermittle eine Lösungsfunktion der Differentialgleichung N’ (t) = a · N (t) · [K – N (t)] für folgende Angaben und skizziere den Graphen der Lösungsfunktion! a) K = 500, N0 = 100, a = 0,001 b) K = 500, N0 = 200, a = 0,001 Schwingungen L Es sei s (t) = r · sin (ω · t + φ) die Elongation einer harmonischen Schwingung zum Zeitpunkt t. Man kann zeigen, dass die Funktion s der Differentialgleichung s’’(t) = –ω 2 · s (t) genügt. 7.20 Zeige, dass die Zeit-Ort-Funktion s mit s (t) = a · sin (ω t + φ) + b · cos (ω t + φ) eine Lösung der Differentialgleichung s’’ (t) = – ω 2 · s (t) ist! Ó Applet qp2nh3 AUFGABEN L Ó Applet qp38sc AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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