125 8.2 Modelle der Populationsentwicklung 8.2 Modelle der Populationsentwicklung Räuber-Beute-Modelle L In der folgenden Abbildung sind die Anzahlen der Schneeschuhhasen bzw. Luchse in einer nordamerikanischen Region während eines Zeitraums dargestellt (sie wurden aus entsprechenden Fangzahlen erschlossen). Dabei fallen periodische Schwankungen sowie eine gewisse „Parallelität“ der Entwicklungen auf. 20 000 100 000 0 Anzahl Schneeschuhhasen Luchse 1910 1920 1930 Jahr Dies kann man so erklären: Schneeschuhasen sind die bevorzugte Beute von Luchsen. Anfänglich wächst die Hasenpopulation. Durch das vermehrte Nahrungsangebot wächst daraufhin auch die Luchspopulation. Mehr Luchse erlegen aber mehr Hasen, wodurch die Hasenpopulation wieder abnimmt. Durch das verminderte Nahrungsangebot sinkt daraufhin wiederum die Luchspopulation, usw. Der amerikanischen Chemiker Alfred Lotka und der italienischen Mathematiker und Physiker Vito Volterra haben unabhängig voneinander ein kontinuierliches Modell für eine Räuber-BeuteBeziehung dieser Art erstellt, das wir im Folgenden besprechen. Wir bezeichnen die Größe der Beutepopulation zum Zeitpunkt t mit B (t) und die Größe der Räuberpopulation zum Zeitpunkt t mit R (t) (mit t * ℝ 0 +) und treffen folgende Annahmen: Annahmen über die Beutepopulation: Annahmen über die Räuberpopulation: (1) Die Änderungsrate B’ (t) setzt sich aus drei Komponenten zusammen, der Zunahmerate B’1 (t) durch Geburten, der Abnahmerate B’2 (t) durch natürliche Todesfälle und der Abnahmerate B’3 (t) durch Getötetwerden durch Räuber: B’ (t) = B’1 (t) – B’2 (t) – B’3 (t) (1’) Die Änderungsrate R’ (t) setzt sich aus drei Komponenten zusammen, der Zunahmerate R’1 (t) durch Geburten, der Abnahmerate R’2 (t) durch natürliche Todesfälle und der Zunahmerate R’3 (t) durch Fressen von Beutetieren: R’ (t) = R’1 (t) – R’2 (t) + R’3 (t) (2) Die Zunahmerate B’1 (t) ist direkt proportional zu B (t): B’1 (t) = a · B (t) (2’)Die Zunahmerate R’1 (t) ist direkt proportional zu R (t): R’1 (t) = d · R (t) (3) Die Abnahmerate B’2 (t) ist direkt proportional zu B (t): B’2 (t) = b · B (t) (3’)Die Abnahmerate R’2 (t) ist direkt proportional zu R (t): R’2 (t) = e · R (t) (4) Die Abnahmerate B’3 (t) ist direkt proportional zur Anzahl der Kontaktmöglichkeiten von Beutetieren und Räubern. Da jedes Beutetier mit jedem Räuber in Kontakt kommen kann, gibt es B (t) · R (t) Kontaktmöglichkeiten: B’3 (t) = c · B (t) · R (t) (4’)Die Zunahmerate R’3 (t) ist direkt proportional zur Anzahl der Kontaktmöglichkeiten von Beutetieren und Räubern. Da jedes Beutetier mit jedem Räuber in Kontakt kommen kann, gibt es B (t) · R (t) Kontaktmöglichkeiten: R’3 (t) = f · B (t) · R (t) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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