128 8 VERNETZTE SYSTEME UND DEREN DYNAMIK Setzt man die Ausdrücke der Gleichungen (2), (3) und (4) in (1) ein und nimmt (5) hinzu, erhält man das folgende System aus zwei Differentialgleichungen: { P’ (t) = a · P (t) – b · P (t) – c · P (t) · G (t) G’ (t) = d · P (t) Ersetzen wir im obigen Gleichungssystem t * ℝ 0 + durch n * ℕ, erhalten wir ein diskretes Modell. Für eine genügend kleine Zeiteinheit können wir P’ (t) näherungsweise durch P (n + 1) – P (n) und G’ (t) näherungsweise durch G (n + 1) – G (n) ersetzen und erhalten: { P (n + 1) ≈ P (n) + (a – b) · P (n) – c · P (n) · G (n) G (n + 1) ≈ G (n) + d · P (n) Nebenstehend ist dieses diskrete Modell durch ein Flussdiagramm dargestellt. Dabei ist PZ die Populationszunahme im Intervall [n; n + 1], PA 1 die Populationsabnahme durch natürliche Sterbefälle im Intervall [n; n + 1], PA2 die Populationsabnahme durch die Giftwirkung im Intervall [n; n + 1] und GZ die Giftzunahme im Intervall [n; n + 1]. 8.12 a) Führe für das oben besprochene diskrete Modell für eine Populationsentwicklung bei Selbstvergiftung eine Simulation mit Technologieeinsatz durch! Verwende dabei folgende Werte: P (0) = 1 000, G (0) = 0, a = 0,4, b = 0,2, c = 0,002, d = 0,02 Stelle die Entwicklung von P und G grafisch dar! b) Erkläre, warum P anfangs zunimmt und dann auf null absinkt! c) Erkläre, warum G zunimmt und sich schließlich einem konstanten Wert nähert! Vor- und Nachteile verschiedener Darstellungen von Prozessen L Differenzengleichungen versus Differentialgleichungen: Viele Prozesse können durch Differentialgleichungen oder Differenzengleichungen beschrieben werden. Jede dieser Beschreibungen hat Vor-, aber auch Nachteile. Ein Vorteil der Differentialgleichungen gegenüber den Differenzengleichungen besteht darin, dass sie oft übersichtlicher sind, weil Differentialquotienten anstelle von Differenzenquotienten verwendet werden. Leider haben Differentialgleichungen den Nachteil, dass man nur selten Lösungsfunktionen exakt angeben kann. In einem solchen Fall ersetzt man in der Praxis Differentialgleichungen durch Differenzengleichungen, um die Lösungsfunktionen wenigstens näherungsweise berechnen und tabellieren zu können. Einzelne Rekursionsgleichung versus rekursives Gleichungssystem: Ein rekursives Gleichungssystem hat gegenüber einer einzelnen Rekursionsgleichung häufig den Vorteil größerer Übersichtlichkeit. Zwar kann man oft durch fortlaufendes Einsetzen die Anzahl der Rekursionsgleichungen des Systems verringern. Manchmal gelingt es sogar, das ganze System auf eine einzige Rekursionsgleichung zu reduzieren Diese kann aber unter Umständen recht lang und unübersichtlich werden. In einem solchen Fall zieht man ein rekursives Gleichungssystem einer einzelnen Rekursionsgleichung vor. In einem rekursiven Gleichungssystem sind auch Änderungen leichter durchführbar, weil im Allgemeinen nur einzelne Gleichungen des Systems geändert werden müssen und nicht gleich das ganze System neu geschrieben werden muss. Dies erleichtert das Variieren der Modelle und das Experimentieren. P PZ a PA1 b G GZ d PA 2 c AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MTA2NTcyMQ==