129 TECHNOLOGIE KOMPAKT Räuber-Beute-Modell untersuchen Als Beispiel für ein Räuber-Beute-Modell wird die auf Seite 125 und 126 beschriebene Entwicklung der Populationszahlen R (t) der Luchse (Räuber) und B (t) der Schneeschuhhasen (Beute) in einem bestimmten Gebiet untersucht. Dabei gelten die folgenden Differentialgleichungen: B’(t)=(a–b)·B (t) – c · B (t) · R (t) und R’(t) = (d – e)·R (t) + f · B (t) · R (t) Die Parameter a, b, c, d, e, f und die Anfangsbedingungen B (0) = B0 und R (0) = R0 sind dabei gegeben. Die Graphen der Lösungsfunktionen sollen dabei für 0 ª t ª T gezeichnet werden. (In Aufgabe 8.09 wurde T = 600 gesetzt.) GEOGEBRA CASIO CLASS PAD II Algebra-Ansicht: Eingabe: B’ (t, B, R) = (a – b)*B – c*B*R Eingabe: R’ (t, B, R) = (d – e)*R + f*B*R Eingabe: NLöseDgl({B’, R’}, 0, {B0 , R0 }, T ) Ausgabe ¥ Graphen der Funktionen t ¦ B(t) und t ¦ R(t) BEMERKUNG Zur besseren Übersichtlichkeit benennen wir die Graphen (Ortslinien) in Räuber bzw. Beute um. Für das Phasendiagramm: Werkzeug – Schieberegler erstellen mit Name t1, Intervall min = 0, max = 1, Schrittweite = 1 / Länge (Beute) Eingabe: P = (y (Punkt (Beute, t1)), y (Punkt (Räuber, t1))) Eingabe: Phasendiagramm = Ortslinie (P, t1) Grafik-Ansicht: Ausgabe ¥ Phasendiagramm BEMERKUNG Erstellt man für die Parameter a, b, c, d, e, f Schieberegler, so kann man untersuchen, wie sich Veränderungen der einzelnen Parameter auf die Populationsentwicklung auswirken. BEMERKUNG Das CPII kann lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung lösen. Die Lotka-Volterra Gleichungen sind aber nichtlinear. Daher ist die grafische Darstellung der Entwicklung der Räuber- und Beutepopulation mit dem CPII mittels direkter Eingabe nicht möglich. Allerdings lässt sich mithilfe eines numerischen Verfahrens eine gute Lösung erzielen. Iconleiste – Menu – Tabellenkalkulat. – Zelle A1: 0 Zelle A2: Menüleiste – Edit – Füllen – Mit Wert Füllen – Formel: = A1 + 1 – Bereich: A2:AT + 1 – OK Zelle B1: B0 Zelle C1: R0 Zelle B2: Menüleiste – Edit – Füllen – Mit Wert Füllen – Formel: = B1 + (a – b) × B1 – c × B1 × C1 – Bereich: B2:BT + 1 – OK Zelle C2: Menüleiste – Edit – Füllen – Mit Wert Füllen – Formel: = C1 + (d – e) × C1 + f × B2 × C1 – Bereich: C2:CT + 1 – OK Ausgabe ¥ Liste der Werte für B(0), B(1), …, B(T + 1) in Spalte B Ausgabe ¥ Liste der Werte für R(0), R(1), …, R(T + 1) in Spalte C Für die graphische Darstellung: Menüleiste – Edit – Wählen – Bereich wählen – Bereich: A1:CT + 1 – OK Menüleiste – Grafik – Scatter – Iconleiste – Resize Ausgabe ¥ Graphen der Funktionen t ¦ B(t) und t ¦ R(t) Für das Phasendiagramm: Menüleiste – Edit – Wählen – Bereich wählen – Bereich: B1:CT + 1 – OK Menüleiste – Grafik – Scatter – Iconleiste – Resize Ausgabe ¥ Phasendiagramm Ó TI-Nspire kompakt q2z54t L TECHNOLOGIE KOMPAKT Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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