132 9 KOMPENDIUM FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Definition Potenzen mit natürlichen Exponenten: a n = a · a · … · a n Faktoren (a * R, n * N*) Potenzen mit ganzen Exponenten: a 0 = 1 und a – n = 1 _ a n (a * R*, n * N*) Potenzen mit rationalen Exponenten: a m _ n = n � _ a m (a * R+, m * Z, n * N*) Rechenregeln für Potenzen (1) ax · ay = ax + y (2) a x _ a y = a x – y (3) (ax)y = ax · y (4) (a · b)x = ax · bx (5) ( a _ b ) x = a x _ b x Die zur Definition der Potenzen mit rationalen Exponenten nötigen Wurzeln sind so definiert: Definition Die n-te Wurzel aus a * R 0 + ist jene nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist. Symbolisch: n � _ a = x É xn = a ? x º 0 Rechenregeln für Wurzeln (1) ( n � _ a ) n = a, ( n � _ a n ) = a, ( n � _ a ) k = n � _ a k (3) m � _ n � _ a = m · n � _ a (2) n � _ a · b = n � _ a · n � _ b und n � _ a _ b = n � _ a _ n � _ b (b ≠ 0) (4) k n � _ a k m = n � _ a m Logarithmen R Definition Der Logarithmus von b zur Basis a ist jene Hochzahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten (a, b * ℝ +, a ≠ 1). Symbolisch: log a b = x É a x = b oder kurz: a log a b = b (Merkregel: Basis Logarithmus = Numerus) Logarithmen zur Basis 10 heißen Zehnerlogarithmen (oder dekadische Logarithmen), Logarithmen zur Basis e (Euler’sche Zahl) heißen natürliche Logarithmen. Statt log e x schreibt man ln x (logarithmus naturalis von x). Rechenregeln für Logarithmen Für alle a * ℝ + mit a ≠ 1 und alle x, y * ℝ + gilt: (1) log a (x · y) = loga x + loga y (2) log a x _ y = log a x – loga y (3) log a (x y) = y · log a x Komplexe Zahlen R Wählt man a, b * R, dann sind folgende Bezeichnungen gebräuchlich: • i mit i2 = – 1 imaginäre Einheit • bi imaginäre Zahlen • a + bi komplexe Zahlen a heißt Realteil und b Imaginärteil der komplexen Zahl a + bi • a + bi und a – bi konjugiert komplexe Zahlen C = Menge der komplexen Zahlen. Es gilt: R ² C Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier komplexer Zahlen sind wieder komplex. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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