133 9.1 Algebra und Geometrie Grund-, Definitions- und Lösungsmenge von Termen und Gleichungen R Für Gleichungen in einer Variablen verwendet man folgende Begriffe: Gegeben ist eine Gleichung in einer Variablen, die wir im Folgenden mit x bezeichnen. • Die Grundmenge G der Gleichung besteht aus allen Zahlen, die man als mögliche Werte für x ins Auge fasst. • Die Definitionsmenge D der Gleichung besteht aus allen Zahlen x der Grundmenge, für welche die Gleichung eine (wahre oder falsche) Aussage ergibt. • Als Lösung der Gleichung bezeichnet man jede Zahl x aus der Definitionsmenge D, für welche die Gleichung eine wahre Aussage liefert. • Die Lösungsmenge L der Gleichung ist die Menge aller Lösungen der Gleichung. Lineare Gleichungen R Eine lineare Gleichung hat die Form a · x + b = 0 (mit a, b * R und a ≠ 0). Satz Eine lineare Gleichung a · x + b = 0 mit a, b * R und a ≠ 0 hat genau eine Lösung: x = – b _ a Quadratische Gleichungen R Eine quadratische Gleichung hat die Form: a x2 +bx+c=0 (mit a, b, c * R und a ≠ 0) Dividiert man eine solche Gleichung durch a, erhält man deren normierte Form: x2 +px+q=0 (mit p, q * R) Die Zahl D = b2 – 4 a c bzw. D = ( p _ 2 ) 2 – q bezeichnet man als Diskriminante der quadratischen Gleichung. Satz x2 +px+q=0 mit D = ( p _ 2 ) 2 – q hat a x2 +bx+c=0 mit D = b2 – 4 a c hat • zwei reelle Lösungen, wenn D > 0 • zwei reelle Lösungen, wenn D > 0 • genau eine reelle Lösung, wenn D = 0 • genau eine reelle Lösung, wenn D = 0 • keine reelle Lösung, wenn D < 0 • keine reelle Lösung, wenn D < 0 (zwei konjugiert komplexe Lösungen) (zwei konjugiert komplexe Lösungen) „Kleine Lösungsformel“: „Große Lösungsformel“: x2 +px+q É x = – p _ 2 ± � _ ( p _ 2 ) 2 – q a x2 +bx+c=0 É x = – b ± � _b 2 – 4 a c _ 2 a Satz (Satz von Vieta) Hat eine quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 die Lösungen x 1 und x2 (die auch zusammenfallen können), so gilt: (1) x2 +px+q=(x–x 1) · (x – x2) (2) p = – (x1 + x2) und q = x1 · x2 Die Beziehung (1) drückt man auch so aus: Der Term x 2 + p x + q wird in die Linearfaktoren (x – x 1 ) und (x – x2 ) zerlegt. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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