134 9 KOMPENDIUM FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Gleichungen vom Grad n R Seien an , an – 1 , …, a0 reelle Zahlen. • Polynom vom Grad n: a nx n + a n – 1 x n – 1 +…+a 1 x + a0 (mit an ≠ 0) • Polynomfunktion f vom Grad n: f (x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 +…+a 1 x + a0 (mit an ≠ 0) • (Algebraische) Gleichung vom Grad n: a nx n + a n – 1 x n – 1 +…+a 1 x + a0 = 0 (mit an ≠ 0) Das Ermitteln der Lösungen einer Gleichung vom Grad n ist gleichwertig mit dem Ermitteln der Nullstellen der zugehörigen Polynomfunktion. Satz Ist f (x) ein Polynom vom Grad n und x0 eine Lösung der Gleichung f (x) = 0, dann gilt f(x) = (x – x 0 ) · g (x) für alle x * R, wobei g (x) ein Polynom vom Grad n – 1 ist. Man sagt dazu: Der Linearfaktor (x – x0 ) wird von f (x) abgespaltet. Um neben der Lösung x0 allfällige weitere Lösungen der Gleichung f (x) = 0 zu ermitteln, ist nur mehr die Gleichung g (x) = 0 zu lösen. Durch fortlaufendes Abspalten von Linearfaktoren erkennt man: Satz (1) Eine Gleichung vom Grad n hat höchstens n Lösungen. (2) Eine Polynomfunktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Eine Gleichung vom Grad n kann aber weniger als n Lösungen haben. ZB hat die Gleichung x2 – 2 x + 1 = 0 nur die Lösung 1, was man in der Form (x – 1)2 = 0 der Gleichung sofort erkennt. Satz (Fundamentalsatz der Algebra) Jede Gleichung vom Grad n mit komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Lösung. Nach diesem Satz ist jede algebraische Gleichung mit komplexen (insbesondere also auch mit reellen) Koeffizienten in C lösbar. Es besteht somit – zumindest vom Standpunkt des Gleichungslösens aus – keine Notwendigkeit, die Menge C der komplexen Zahlen zu erweitern. Lineare Gleichungssysteme in zwei bzw. drei Variablen (Unbekannten) R Gleichungssystem mit zwei linearen Gleichungen in den Unbekannten x und y: Gleichungssystem mit drei linearen Gleichungen in den Unbekannten x, y, z: { a 1 x + a2 y = a0 , b 1 x + b2 y = b0 , (a 1 1 a 2) ≠ (0 1 0) (b 1 1 b 2) ≠ (0 1 0) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ a 1 x + a2 y + a3 z = a0 , (a 1 1 a 2 1 a 3) ≠ (0 1 0 1 0) b 1 x + b2 y + b3 z = b0 , (b 1 1 b 2 1 b 3) ≠ (0 1 0 1 0) c 1 x + c2 y + c3 z = c0 , (c 1 1 c 2 1 c 3) ≠ (0 1 0 1 0) Ein Zahlenpaar (x 1 y) heißt Lösung des Gleichungssystems, wenn die reellen Zahlen x und y beide Gleichungen erfüllen. Ein Zahlentripel (x 1 y 1 z) heißt Lösung des Gleichungssystems, wenn die reellen Zahlen x, y, z alle drei Gleichungen erfüllen. Derartige Gleichungssysteme können ua. mit der Substitutions-, der Eliminations-, der Komparationsmethode oder mithilfe von Technologie gelöst werden (siehe Mathematik verstehen 5, Seite 194, und Mathematik verstehen 6, Seite 203). Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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