135 9.1 Algebra und Geometrie Lösungsfälle linearer Gleichungssysteme in zwei Variablen R { a 1 x + a2 y = a0 , (a 1 1 a 2) ≠ (0 1 0) b 1 x + b2 y = b0 , (b 1 1 b 2) ≠ (0 1 0) Den beiden Gleichungen entsprechen geometrisch zwei Geraden g und h in der Ebene mit den Normalvektoren →a = (a 1 1 a2) und → b = (b1 1 b2). Jeder Lösung (x 1 y) des Gleichungssystems entspricht ein Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Folgende Lösungsfälle sind möglich: genau eine Lösung keine Lösung unendlich viele Lösungen y x g h S b a y x h a g b y x g = h a b g ° h = {S} g ° h = { } g ° h = g = h (b1 1 b 2 ) ≠ r · (a 1 1 a 2 ) (b 1 1 b 2 ) =r·(a1 1 a 2 ) (b 1 1 b 2) =r·(a1 1 a 2 ) und b 0 ≠ r · a 0 und b 0 =r·a0 Satz Die Menge der Lösungen eines Gleichungssystems mit zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen ist leer, enthält einen Punkt in R2 oder ist eine Gerade in R2. Sinus, Cosinus und Tangens R Definition In einem rechtwinkeligen Dreieck mit dem Winkelmaß φ, der Hypotenusenlänge H, der Gegenkathetenlänge G und der Ankathetenlänge A setzt man: sin φ = G _ H , cos φ = A _ H , tan φ = G _ A Polarkoordinaten R • (x 1 y) … kartesische Koordinaten von P • [r 1 φ] … Polarkoordinaten von P (≠ O) • r = ‾OP … Polarabstand von P • φ … Polarwinkelmaß von P Der Polarwinkel wird von der positiven 1. Achse aus im Gegenuhrzeigersinn gemessen. Es gilt: 0° ª φ < 360° Dem Ursprung O wird kein Polarwinkelmaß zugeordnet. Jedem Punkt P = (x 1 y) ≠ O der Ebene entspricht genau ein Paar [r 1 φ] mit r * R+ und φ * [0°; 360°) und umgekehrt. Wir schreiben: P = (x 1 y) = [r 1 φ] Umrechnungsformeln für kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten x = r · cos φ, y = r · sin φ bzw. r = � _x 2 + y 2 , tan φ = y _ x A H G φ y x φ P r O Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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