136 9 KOMPENDIUM FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Erweiterung von Sinus, Cosinus und Tangens auf alle Quadranten R Allgemein setzt man für r > 0 und 0° ª φ < 360°: • sin φ = y _ r , cos φ = x _ r • tan φ = y _ x (sofern φ ≠ 90° und φ ≠ 270°) Sinus- und Cosinuswerte besonderer Winkel kann man sich mit der nebenstehenden „Einhalb-mal-Wurzel-Regel“ merken. Sinus und Cosinus im Einheitskreis R Für r = 1 gilt: cos φ = x _ r = x _ 1 = x und sin φ = y _ r = y _ 1 = y Darstellung von Sinus und Cosinus als Stellen auf den Koordinatenachsen: (1) (2) (3) (4) 1 y x y x y x y x – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ O O O O Darstellung von Sinus und Cosinus als vorzeichenbehaftete Strecken: (1) (2) (3) (4) 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 –1 φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ φ sin P φ cos φ φ P sin φ cos φ O O O O y x y x y x y x • Strecken von O aus nach rechts oder nach oben erhalten ein positives Vorzeichen. • Strecken von O aus nach links oder nach unten erhalten ein negatives Vorzeichen. Wichtige Beziehungen, die man am Einheitskreis ablesen kann: Satz Für alle Winkelmaße φ mit 0° ª φ < 360° gilt: (1) –1 ª sin φ ª 1 (3) sin2 φ + cos2 φ = 1 (4) sin (180° – φ) = sin φ (2) –1 ª cos φ ª 1 (5) cos (180° – φ) = –cos φ Gleichungen sin φ = c und cos φ = c mit 0° ª φ < 360° besitzen für –1 < c < 1 stets genau zwei Lösungen φ1 und φ2 . 0 c 1 1 y x φ1 φ2 φ1 φ2 0 c 1 1 y x α sin α 0° 1 _ 2 � _ 0 90° 30° 1 _ 2 � _ 1 60° 45° 1 _ 2 � _ 2 45° 60° 1 _ 2 � _ 3 30° 90° 1 _ 2 � _ 4 0° cos α α Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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