137 9.1 Algebra und Geometrie Vektoren in ℝ n R Definition Rn = {(a 1 1 a2 1 … 1 an) 1 a1 , a2 , …, an * R} = Menge aller n-Tupel reeller Zahlen Insbesondere: R2 = Menge aller Paare reeller Zahlen, R3 = Menge aller Tripel reeller Zahlen Die Elemente der Menge Rn, also die n-Tupel (a 1 1 a2 1 … 1 an), heißen auch Vektoren in Rn mit den Koordinaten a1 , a2 , …, an . Man kann Vektoren in Zeilen- oder in Spaltenform anschreiben. Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie dieselben Zahlen in derselben Reihenfolge enthalten. Definition (Rechenoperationen für Vektoren) • (a 1 1 a 2 1 … 1 a n ) + (b 1 1 b 2 1 … 1 b n ) = (a 1 + b 1 1 a 2 + b 2 1 … 1 a n + b n ) • (a 1 1 a 2 1 … 1 a n ) – (b 1 1 b 2 1 … 1 b n ) = (a 1 – b 1 1 a 2 – b 2 1 … 1 a n – b n ) • r · (a 1 1 a 2 1 … 1 a n ) =(r·a1 1 r · a 2 1 … 1 r · a n ) mit r * R BEACHTE Die Addition und Subtraktion von Vektoren sowie die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl erfolgen koordinatenweise. • Der Vektor O = (0 1 0 1 … 1 0) heißt Nullvektor in ℝ n. • Der Vektor –A = (–a1 1 – a 2 1 … 1 – a n ) heißt Gegenvektor (inverser Vektor) zum Vektor A = (a 1 1 a 2 1 … 1 a n ). Für das Rechnen mit Vektoren in ℝ n gelten ähnliche Gesetze wie für reelle Zahlen, es gibt aber auch Unterschiede (zB kann man Vektoren nicht durcheinander dividieren). Geometrische Darstellung von Vektoren in ℝ 2 bzw. ℝ 3 R Vektoren in R2 kann man als Punkte Vektoren in R3 kann man als Punkte oder Pfeile in einem zweidimensionalen oder Pfeile in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darstellen: Koordinatensystem darstellen: 2. A. 1. A. a2 a1 A 0 a2 a1 2. A. 1. A. a2 a1 0 a a 0 A 3. A. 2. A. 1. A. a3 a1 a2 3. A. 1. A. 2. A. 0 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a a • Jedem Vektor in R2 (R3) entspricht genau ein Punkt der Ebene (des Raumes). Umgekehrt entspricht jedem Punkt der Ebene (des Raumes) genau ein Vektor in R2 (R3). • Jedem Vektor in R2 (R3) entsprechen unendlich viele Pfeile der Ebene (des Raumes), die alle gleich lang und (vom Nullvektor abgesehen) parallel und gleich orientiert sind. Umgekehrt entspricht jedem Pfeil der Ebene (des Raumes) genau ein Vektor in R2 (R3). Bezeichnungen von Vektoren erfolgen entsprechend ihrer geometrischen Deutung: • Vektor als Punkt: A, B, C, … • Vektor als Pfeil: →a , → b , →c , … • Nullvektor als Punkt: O (Ursprung des Koordinatensystems) • Nullvektor als Pfeil: →o(Nullpfeil = entarteter Pfeil der Länge 0) • Vektor als Pfeil vom Punkt A zum Punkt B: ⟶ AB Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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