138 9 KOMPENDIUM FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Geometrische Deutungen der Rechenoperationen in R 2 bzw. R 3: Punkt-Pfeil-Darstellung der Vektoraddition: A + ⟶ AB = B (Daraus folgt: ⟶ AB = B – A) A B AB Pfeildarstellung der Vektoraddition: ⟶ AB + ⟶ BC = ⟶ AC A B C BC AB AC Streckungsdarstellung der Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl: r · →a entspricht einer Streckung von →a mit dem Faktor r. r · a r · a o a a a Parallele Vektoren in R 2 (R 3): Normale Vektoren in R 2: →a u → b É → b = r · →a mit r * R* ( →a , → b ≠ →o ) (– a 2 1 a1) und (a2 1 – a1) sind Normalvektoren des Vektors (a1 1 a2) (≠ →o ) . b a b a a2 –a1 –a2 a1 a1 1. A. 2. A. a2 0 Skalarprodukt von Vektoren R Definition Skalares Produkt der Vektoren A = (a 1 1 a 2 1 … 1 a n) und B = (b 1 1 b 2 1 … 1 b n) * R n: A·B=a1 · b 1 + a 2 · b 2 + … + a n · b n BEACHTE Das skalare Produkt zweier Vektoren ist kein Vektor, sondern eine reelle Zahl. Satz (Orthogonalitätskriterium) Für alle →a , → b ≠ → o gilt: →a © → b É →a · → b = 0 Betrag eines Vektors R Definition Betrag des Vektors → a = (a 1 1 a2 1 … 1 an) * Rn: † → a † = � ______________ a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 Der Betrag eines Vektors kann als Länge eines Pfeils gedeutet werden, der dem Vektor zugeordnet ist. Abstand zweier Punkte A und B: ‾AB = † ⟶ AB † = †B – A† Satz Für alle →a * Rn und alle r * R gilt: (1) †r · →a † = †r† · † → a † (2) | → a | = � __ →a 2 = � ____ →a · →a (3) | → a | 2 = →a 2 = →a · →a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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