139 9.1 Algebra und Geometrie Richtungsvektoren und Normalvektoren einer Geraden R • Ein Richtungsvektor von g ist ein Vektor →g = ⟶ PQmit P, Q * g und P ≠ Q. Eine Gerade ist durch einen Punkt und einen Richtungsvektor festgelegt. g P Q g • Ein Normalvektor von g ist ein Vektor →n , der zu jedem Richtungsvektor von g normal ist. Eine Gerade in R2 ist durch einen Punkt und einen Normalvektor festgelegt. g P n g Parameterdarstellung und Normalvektordarstellung einer Geraden R Parameterdarstellung in R 2 (bzw. R 3) P X g g X = P + t · →g X … laufender Punkt P … fester Punkt →g… Richtungsvektor von g t … Parameter Normalvektordarstellung (Gleichung) in R 2 g P X n →n·X=→n · P bzw. n 1 x + n 2 y = c (mit c = n1 p1 + n2 p2) X = (x 1 y) … laufender Punkt P = (p1 1 p2) … fester Punkt →n = (n 1 1 n2) … Normalvektor von g BEACHTE • E ine Parameterdarstellung X = P + t · → g ordnet jedem Parameter t * R einen Punkt auf der Geraden g zu und umgekehrt. • E ine Punktmenge {X * ℝ 2 (bzw. ℝ 3) 1 X = P + t · → g ? t * ℝ} heißt Gerade in R2 (bzw. R3). • E ine Gerade kann verschiedene Parameterdarstellungen haben, weil P und →g verschieden gewählt werden können. Der Parameterwert eines Punktes auf der Geraden hängt dabei von der gewählten Parameterdarstellung ab. • E ine Parameterdarstellung wird unter Umständen einfacher, wenn man den Richtungsvektor durch ein geeignetes Vielfaches ersetzt. • E ine Gerade in R3 kann nicht (!) durch eine Normalvektordarstellung (Gleichung) beschrieben werden. Jede Gleichung n1 x + n2 y + n3 z = c mit (n1 1 n2 1 n3) ≠ (0 1 0 1 0) stellt nämlich eine Ebene im Raum dar. Gegenseitige Lage und Schnitt von Geraden in ℝ 2 R Zwei Geraden in R2 können folgende gegenseitige Lagen einnehmen: 2. A. 1. A. a b g h g h S g und h schneiden einander g ° h = {S} 2. A. 1. A. Q g P h a b g und h sind parallel und verschieden g ° h = { } 2. A. 1. A. g = h P Q a b g und h sind parallel und zusammenfallend g ° h = g = h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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