14 1 Stammfunktion und Integral • Beim Symbol ∫ a b f (x) dxist im Gegensatz zum Symbol ∫ a b f die Integrationsvariable ersichtlich. Das ist oft von Vorteil. ZB muss man folgende Integrale unterscheiden: ∫ a b x 2 ydx bedeutet ∫ a b f (x) dx mit f (x) = x2 y (y konstant). Man sagt: „Es wird nach x integriert.“ ∫ a b x 2 ydy bedeutet ∫ a b g (y) dy mit g (y) = x2 y (x konstant). Man sagt: „Es wird nach y integriert.“ AUFGABEN 1.18 Gegeben ist das Integral ∫ 0 1 u – 1 _ 2 du. 1) Wie lautet der Integrand? 2) Wie lautet die Integrationsvariable? 3) Wie lautet die untere, wie die obere Grenze des Integrals? 4) Kreuze die beiden Integrale an, die die gleiche Zahl darstellen wie das gegebene Integral! ∫ 0 1 u – 1 _ 2 dy ∫ 0 1 y – 1 _ 2 dy ∫ 0 1 1 _ 2 ·(x – 1)dz ∫ 0 1 1 _ 2 ·(x –1)dx ∫ 1 0 ( x _ 2 – 1 _ 2 ) dx Darstellung eines Flächeninhalts als Integral R Es sei f eine in einem Intervall [a; b] stetige Funktion, die nur nichtnegative Werte annimmt, und A (a, b) der Inhalt der von f in [a; b] festgelegten Fläche. Die Unter- und Obersummen von f in [a; b] kann man als Summen der Inhalte von eingeschriebenen bzw. umgeschriebenen Rechtecken geometrisch deuten. Damit ist anschaulich klar, dass für alle Untersummen U und alle Obersummen O von f in [a; b] gilt: UªA(a,b)ªO Andererseits gilt aufgrund der Definition des Integrals für alle Untersummen U und alle Obersummen O von f in [a; b]: U ª ∫ a b f(x)dx ª O Da es genau eine reelle Zahl gibt, die „zwischen“ allen Untersummen U und allen Obersummen O von f in [a; b] liegt, muss gelten: A(a,b) = ∫ a b f (x) dx Satz (Flächeninhalt als Integral) Die reelle Funktion f sei in [a; b] stetig und es sei f (x) º 0 für alle x * [a; b]. Für den Inhalt A (a, b) der von f in [a; b] festgelegten Fläche gilt: A(a, b) = ∫ a b f (x) dx AUFGABEN R kompakt S. 22 f A (a, b) a b 0 f (x) x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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