140 9 KOMPENDIUM FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Ermitteln der gegenseitigen Lage der Geraden g: X = P + s · →gund h:X=Q+t· → h : • Ist → g u → h , dann ist auch g u h. Zur Überprüfung, ob g und h zusammenfallen oder verschieden sind, betrachtet man einen Punkt P = (p1 1 p2) * g und einen Punkt Q = (q1 1 q2) * h. • Ist ⟶ PQ û →g, sind g und h verschieden. • Ist ⟶ PQ u →g, ist g = h. • Ist →g û → h , dann schneiden die beiden Geraden einander. Berechnen des Schnittpunktes: P + s · →g=Q+t· → h É { p 1 +s·g1 = q 1 +t·h1 p 2 +s·g2 = q 2 +t·h2 Aus diesem Gleichungssystem kann man s und t ermitteln. Der Schnittpunkt S lässt sich durch S = P + s · →goderS=Q+t· → hberechnen. Beachte, dass die Parameter der beiden Geraden verschieden bezeichnet werden müssen! Gegenseitige Lage und Schnitt von Geraden in ℝ 3 R Zwei Geraden in R3 können folgende gegenseitige Lagen einnehmen: g h S g h g und h schneiden einander g ° h = {S} g h g h g und h sind zueinander windschief g ° h = { } h g P Q h g g und h sind parallel und verschieden g ° h = { } g = h P Q g h g und h sind parallel und zusammenfallend g ° h = g = h Ermitteln der gegenseitigen Lage der Geraden g: X = P + s · →gundh:X=Q+t· → h : • Ist →g u → h , dann ist auch g u h. Ob g und h zusammenfallen oder verschieden sind, kann man wie in R2 entscheiden. • Ist → g û → h , dann schneiden g und h einander in einem Punkt oder sind zueinander windschief. Welcher Fall eintritt, stellt sich bei dem Versuch, den Schnittpunkt zu berechnen, heraus. Berechnen des Schnittpunktes: P + s · →g=Q+t· → h É ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ p 1 +s·g1 = q 1 +t·h1 p 2 +s·g2 = q 2 +t·h2 p 3 +s·g3 = q 3 +t·h3 Aus zwei dieser Gleichungen kann man s und t ermitteln. Erfüllen die erhaltenen Parameterwerte auch die dritte Gleichung, existiert der Schnittpunkt S und dieser lässt sich durch S = P + s · →g oder S = Q + t · → hberechnen. Andernfalls existiert kein Schnittpunkt. Abstand eines Punktes von einer Geraden in ℝ 2 R Satz (Hesse’sche Abstandsformel in ℝ 2) Sei P ein Punkt in R2, g eine Gerade in R2 mit einem Normalvektor →n und A ein beliebiger Punkt von g. Dann gilt für den Abstand d des Punktes P von der Geraden g: d = † ⟶ AP · →n † _ † →n † g A P d n Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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