142 9 KOMPENDIUM FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Änderungsmaße von reellen Funktionen R Definition Sei f eine auf einem Intervall [a; b] definierte reelle Funktion. Die reelle Zahl • f(b) – f(a) heißt absolute Änderung (oder kurz Änderung) von f in [a; b], • f(b) – f(a) _ f (a) heißt relative Änderung von f in [a; b], • f(b) – f(a) _ b – a heißt mittlere Änderungsrate (oder Differenzenquotient) von f in [a; b], • f (b) _ f (a) heißt Änderungsfaktor von f in [a; b]. Monotonie von reellen Funktionen R Definition Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M a A. Die Funktion f heißt • monoton steigend in M, wenn für alle x1 , x2 * M gilt: x 1 < x 2 w f (x 1) ª f (x2) • monoton fallend in M, wenn für alle x1 , x2 * M gilt: x 1 < x 2 w f (x 1) º f (x2) • streng monoton steigend in M, wenn für alle x1 , x2 * M gilt: x 1 < x 2 w f (x 1) < f (x2) • streng monoton fallend in M, wenn für alle x1 , x2 * M gilt: x 1 < x 2 w f (x 1) > f (x2) Die Funktion f heißt (streng) monoton in M, wenn sie (streng) monoton steigend in M oder (streng) monoton fallend in M ist. Extremstellen von reellen Funktionen R Man unterscheidet globale und lokale Extremstellen einer reellen Funktion. • Globale Extremstellen beziehen sich auf die gesamte Definitionsmenge der Funktion. • Lokale Extremstellen beziehen sich nur auf bestimmte Umgebungen. Unter einer Umgebung U (p) der Stelle p verstehen wir ein beliebiges Intervall, das p als innere Stelle enthält. Definition Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M a A. Eine Stelle p * M heißt • Maximumstelle von f in M, wenn f(x) ª f(p) für alle x * M, • Minimumstelle von f in M, wenn f(x) º f(p) für alle x * M. Eine Stelle p * M heißt Extremstelle von f in M, wenn sie eine Maximumstelle oder Minimumstelle von f in M ist. Definition Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt • lokale Maximumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Maximumstelle von f in U (p) ist, • lokale Minimumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Minimumstelle von f in U (p) ist. Eine Stelle p heißt lokale Extremstelle von f, wenn sie eine lokale Maximumstelle oder lokale Minimumstelle von f ist. a b x f b – a f (b) – f (a) f (a) f (b) f (x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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