143 9.2 Funktionale Abhängigkeiten Satz Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und seien a, p, b * A mit a < p < b. (1) I st f in [a; p] monoton steigend und in [p; b] monoton fallend, dann ist p eine lokale Maximumstelle von f. (2) Ist f in [a; p] monoton fallend und in [p; b] monoton steigend, dann ist p eine lokale Minimumstelle von f. (3) Ist f in [a; p] und [p; b] monoton steigend, dann ist p keine lokale Extremstelle von f. (4) Ist f in [a; p] und [p; b] monoton fallend, dann ist p keine lokale Extremstelle von f. Grenzwerte von Funktionen R Gegeben sei eine reelle Funktion f: A ¥ R † x ¦ f (x) und eine Stelle p * A. Wenn sich bei unbegrenzter Annäherung von x an die Stelle p die Funktionswerte f (x) unbegrenzt der Zahl q nähern, so schreibt man: lim x ¥ p f (x) = q Die Zahl q heißt Grenzwert von f für x gegen p. Stetigkeit von Funktionen R Definition (1) Eine reelle Funktion f: A ¥ R heißt an der Stelle p * A stetig, wenn lim z ¥ p f(z) = f(p). (2) Die Funktion f heißt (schlechthin) stetig, wenn sie an jeder Stelle p * A stetig ist. Folgende Funktionen sind im gesamten Definitionsbereich stetig: Potenzfunktionen, Polynomfunktionen, rationale Funktionen, Winkelfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen. Ist eine Funktion f an einer Stelle p nicht stetig (unstetig), so kann dies zweierlei bedeuten: • lim z ¥ p f (z) existiert, ist aber von f (p) verschieden (Abb. 9.1). • lim z ¥ p f (z) existiert nicht (Abb. 9.2). 1 f (x) 1 2 –1 –1 0 x f Abb. 9.1 1 f (x) 1 2 –1 –1 0 x f f Abb. 9.2 1 x f(x) 1 –1 –1 0 f Abb. 9.3 Unstetigkeitsstellen sind oft Sprungstellen (wie in Abb. 9.2). Es gibt aber auch andere Unstetigkeitsstellen, zB Oszillationsstellen (wie in Abb. 9.3). Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs R • Eine Funktion f: A ¥ R mit A a Rn heißt reelle Funktion in n Variablen. Solche Funktionen kann man in Formeln sehen. ZB kann man in der Formel A = a · b für den Flächeninhalt eines Rechtecks die Funktion A: (R+)2 ¥ R ‡ (a, b) ¦ a · b sehen. • Noch allgemeiner kann man Funktionen f: A ¥ B betrachten, bei denen A und B beliebige Mengen sind. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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