146 9 KOMPENDIUM FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Exponentialfunktionen R Definition Eine reelle Funktion f: A ¥ R mit f (x) = c · ax (c * R*, a * R+) heißt Exponentialfunktion. • Die Basis a bestimmt die Stärke des Steigens bzw. Fallens. a > 1 … f streng monoton steigend 0 < a < 1 … f streng monoton fallend a = 1 … f konstant • c = f (0) = Funktionswert von f an der Stelle 0 Eine nicht konstante Exponentialfunktion f kann auch in der Form f (x) = e ± λ x mit λ > 0 geschrieben werden (+ bedeutet Wachsen, – bedeutet Abnehmen). Die Konstante λ heißt Wachstums- bzw. Abnahmekonstante (bei Zerfallsprozessen Zerfallskonstante). Satz (Eigenschaften einer Exponentialfunktion) (1) f (x + 1) = f (x) · a Wird x um 1 erhöht, dann ändert sich f (x) mit dem Faktor a. f x x + 1 f(x) f(x)·a 0 2. A. 1. A. f x f(x) 0 x + 1 f(x)·a 2. A. 1. A. (2) Wird x um h erhöht, dann ändert sich f (x) mit dem Faktor a h. f x x + h f(x) f(x)·ah 0 2. A. 1. A. f x f(x) 0 x + h f(x)·ah 2. A. 1. A. (3) Wird x um 1 erhöht, dann wächst bzw. fällt f (x) um einen konstanten Prozentsatz p % vom Ausgangswert. f 1 p % p % p % p % 0 2. A. 1. A. 1 1 1 f 0 1 1 1 1 p % p % p % p % 2. A. 1. A. (4) Wird x um h erhöht, dann wächst bzw. fällt f (x) um einen konstanten, von h abhängigen Prozentsatz p h % vom Ausgangswert. f ph % ph % 0 2. A. 1. A. h h f h h 0 ph % ph % 2. A. 1. A. Exponentielles Wachsen (bzw. Abnehmen) Gleiche Zunahme der Argumente bewirkt stets Zunahme (bzw. Abnahme) mit dem gleichen Faktor bzw. um den gleichen Prozentsatz vom Ausgangswert. ( )x ( )x ( )x 1x 4x 3x 2x – 1 1 0 5 x f (x) 1 – 2 1 – 3 1 – 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MTA2NTcyMQ==