147 9.2 Funktionale Abhängigkeiten Winkelfunktionen R Definition Das Bogenmaß eines Winkels ist der Quotient a = b _ r , wobei b die Länge des zum Winkel gehörigen Bogens mit dem Radius r ist. Das Verhältnis b _ r ist vom gewählten Radius r unabhängig. Zusammenhang zwischen Gradmaß g und Bogenmaß a: a _ π = g _ 180 Polarwinkelmaße liegen stets in [0; 2 π), Drehwinkelmaße können jedoch auch außerhalb dieses Intervalls liegen. Deshalb erweitert man die Definition von Sinus, Cosinus und Tangens: Definition Ist a * ℝ ein Drehwinkelmaß und ‾a * [0; 2 π) das dazugehörige Polarwinkelmaß, so setzt man: (1) sin (a) = sin (‾a ) (2) cos (a) = cos (‾a ) (3) tan (a) = sin (a) _ cos (a) (füra≠± π _ 2 , ± 3 π _ 2 , ± 5 π _ 2 , …) Winkelfunktionen (Kreisfunktionen, trigonometrische Funktionen): Sinusfunktion sin: R ¥ R 1 x ¦ sin (x) Cosinusfunktion cos: R ¥ R 1 x ¦ cos (x) Tangensfunktion tan: A ¥ R 1 x ¦ tan (x), wobei A = R\{± π _ 2 , ± 3 π _ 2 , ± 5 π _ 2 , …} Definition Eine reelle Funktion f: A ¥ R heißt periodisch, wenn es eine positive Zahl p gibt, sodass für alle x * A auch x + p * A und f (x + p) = f (x) ist. Die Zahl p heißt eine Periode der Funktion f. Die Sinus- und Cosinusfunktion sind periodische Funktionen mit der kleinsten Periode 2 π. Die Tangensfunktion ist eine periodische Funktion mit der kleinsten Periode π. • Für alle x * ℝ: sin (x) = cos (x – π _ 2 ) • Für alle x * ℝ: cos (x) = sin (x + π _ 2 ) Funktionen der Form x ¦ a · sin (b · x) R Wir betrachten die Funktionen f und g mit f (x) = sin (x) und g (x) = a · sin (b · x) mit a, b * ℝ +. Der Graph von g geht aus dem Graphen von f durch zwei Veränderungen hervor: • Streckung (0 < b < 1) bzw. Stauchung (b > 1) mit dem Faktor b normal zur 2. Achse • Streckung (a > 1) bzw. Stauchung (0 < a < 1) mit dem Faktor a normal zur 1. Achse Es gilt nebenstehend: g (x) = 3 · sin (2 x) b r 1 0 – 0 1 sin(x) sin x π 2π π – 4 π – 4 π – 2 π – 2 3π – 2 9π – 4 1 0 – 0 1 cos(x) cos x π 2π π – 4 π – 4 π – 2 π – 2 3π – 2 9π – 4 1 0 – 0 1 tan(x) tan x π 2π π – 4 π – 4 π – 2 π – 2 3π – 2 9π – 4 0 1 –1 – –2 –3 2 π – 2 π – 2 3π – 2 π 2π f (x), g (x) x g f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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