148 9 KOMPENDIUM FÜR DIE REIFEPRÜFUNG 9.3 Analysis Differenzenquotient R Definition Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und [a; b] a A. Dann heißt die reelle Zahl f(b) – f(a) _ b – a der Differenzenquotient oder die mittlere Änderungsrate von f in [a; b]. Wichtiger Spezialfall des Differenzenquotienten: Ist s: t ¦ s (t) eine Zeit-Ort-Funktion, dann gilt: mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t1 ; t2] = ‾v (t 1 , t 2) = s (t 2) – s (t1) _ t 2 – t 1 Deutungen des Differenzenquotienten R Der Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) kann gedeutet werden als: • Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente in [a; b] • mittlere Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [a; b] Vorzeichen des Differenzenquotienten: f(b) – f(a) _ b – a > 0 É f (a) < f (b) (f steigt insgesamt bzw. im Mittel in [a; b], siehe Abb. 9.4 a) f(b) – f(a) _ b – a < 0 É f (a) > f (b) (f fällt insgesamt bzw. im Mittel in [a; b], siehe Abb. 9.4 b) f(b) – f(a) _ b – a = 0 É f (a) = f (b) (siehe Abb. 9.4 c) a b f b – a f (b) – f (a) f (a) f (b) Abb. 9.4 a a b b – a †f (b) – f (a)† f (b) f (a) f Abb. 9.4 b a b b – a f (b) f (a) f Abb. 9.4 c Differenzenquotient als Steigung R Lineare Funktion a b f b – a 1 f (b) f (a) f (b) – f (a) k Differenzenquotient von f in [a; b] = = Steigung k der Funktion f in [a; b] = = Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [a; b] Beliebige reelle Funktion 1 k b – a f (a) = s (a) f (b) = s (b) f (b) – f (a) = = s (b) – s (a) a b s f Differenzenquotient von f in [a; b] = = Steigung k der Sekantenfunktion s in [a; b] = = mittlere (!) Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [a; b] = = mittlere (!) Steigung von f in [a; b] Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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