149 9.3 Analysis Differentialquotient R Definition Es sei f eine reelle Funktion. Der Grenzwert f’ (x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) _ z – x heißt Differentialquotient von f an der Stelle x oder Änderungsrate von f an der Stelle x. Wichtiger Spezialfall des Differentialquotienten: Ist s: t ¦ s (t) eine Zeit-Ort-Funktion, dann gilt: (Momentan-)Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = v (t) = lim z ¥ t ‾v(t, z) = lim z ¥ t s(z) – s(t) _ z – t Differentialquotient als Steigung R In der nebenstehenden Abbildung hat die Sekante durch die Punkte X und Z die Steigung f(z) – f(x) _ z – x . Nähert sich Z längs des Graphen von f unbegrenzt dem Punkt X, dann nähert sich die Sekante unbegrenzt einer Grenzgeraden mit der Steigung lim z ¥ x f(z) – f(x) _ z – x = f’ (x). Diese Grenzgerade bezeichnet man als Tangente an den Graphen von f im Punkt X. Die Steigung f’ (x) der Tangente an der Stelle x heißt auch Steigung der Funktion f an der Stelle x. f t Z X z x f (x) f (z) Das Vorzeichen von f’ (x) kann man als Steigen bzw. Fallen der entsprechenden Tangente deuten: x f α f (x) f’(x) > 0 x α f (x) f f’(x) < 0 x f (x) f f’(x) = 0 In diesen Abbildungen ist auch das Neigungswinkelmaß α der Tangente eingezeichnet. Allgemein versteht man unter dem Neigungswinkel (Steigungswinkel) einer Geraden den Winkel, den die Gerade mit der positiven 1. Achse einschließt. Es gilt stets 0° ª α < 180°. Satz Ist k die Steigung und α das Maß des Neigungswinkels der Tangente an den Graphen einer Funktion f an der Stelle x, so gilt: f’ (x) = k = tan α Andere Schreibweisen für den Differenzen- und Differentialquotienten R Setzt man z – x = h, dh. z = x + h, so ergibt sich: f(z) – f(x) _ z – x = f(x + h) – f(x) _ h bzw. lim z ¥ x f(z) – f(x) _ z – x = lim h ¥ 0 f(x + h) – f(x) _ h Auf Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646 – 1716) geht die folgende Schreibweise zurück: f(z) – f(x) _ z – x = Δ y _ Δ x bzw. dy _ dx = lim Δ x ¥ 0 Δ y _ Δ x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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