15 1.2 Unter- und Obersummen, Integral Integral als Verallgemeinerung eines Produkts R Ein Integral wird manchmal als eine Verallgemeinerung eines Produkts bezeichnet. Um dies zu verstehen, betrachten wir die Inhalte der beiden folgenden grün unterlegten Flächen: a 0 b A = a · b a 0 b (x) x A = ∫ 0 a b (x) dx In beiden Fällen ist die Länge a konstant. In der linken Abbildung ist auch die Breite b konstant. In der rechten Abbildung hängt die Breite b (x) jedoch von x ab und das Produkt a · b wird durch ∫ 0 a b (x) dx ersetzt. In diesem Sinn kann das Integral als eine Verallgemeinerung eines gewöhnlichen Produkts aufgefasst werden. AUFGABEN 1.19 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 1 + x2. 1) Schätze den Inhalt der von f im Intervall [0; 3] festgelegten Fläche durch Ober- und Untersummen ab, wobei das Intervall in 1, 3 bzw. 6 gleich lange Teilintervalle zerlegt wird! 2) Ermittle die Differenz von Ober- und Untersumme bei Zerlegung von [0; 3] in n gleich lange Teilintervalle! Wie groß muss n gewählt werden, damit diese Differenz kleiner als 0,01 wird? 1.20 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x _ x + 1 . 1) Stelle den Inhalt der von f im Intervall [0; 4] festgelegten Fläche durch ein Integral dar! 2) Berechne dieses Integral näherungsweise! Teile dazu das Intervall [0; 4] in vier gleich lange Teilintervalle und nimm den Mittelwert von Unter- und Obersumme als Näherungswert! 1.21 Gegeben ist eine reelle Funktion f: [0; 12] ¥ R. Der Inhalt A der Fläche, die vom Graphen von f, der x-Achse und den beiden Geraden x = 0 und x = 12 begrenzt wird, kann durch den Ausdruck U = 4 · (f(4) + f(8) + f(12)) näherungsweise berechnet werden (siehe Abbildung). Kreuze jene beiden Ausdrücke an, mit denen der Flächeninhalt A besser als mit dem Ausdruck U angenähert werden kann! x f 2 4 6 8 10 12 2 4 6 O f(x) 4 · (f(0) + f(4) + f(8)) 2 · (f(2) + f(4) + f(6) + f(8) + f(10) + f(12)) ∫ 0 12 f (x) dx f (4) · 8 f (0) · 12 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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