150 9 KOMPENDIUM FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Ableitungsregeln R • Die Funktion f’: x ¦ f’ (x) nennt man Ableitungsfunktion von f oder kurz Ableitung von f. • Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man Ableiten oder Differenzieren. • Den Funktionswert f’ (x) bezeichnet man als Ableitung von f an der Stelle x. Ableitungen können als Grenzwerte von Differenzenquotienten berechnet werden, zB: f(x) = x2 w f’ (x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) _ z – x = lim z ¥ x z 2 – x 2 _ z – x = lim z ¥ x (z + x)(z – x) _ z – x = lim z ¥ x (z+x)=x+x=2x Um aber nicht jedes Mal einen Grenzwert ermitteln zu müssen, leitet man Regeln her, die das Auffinden der Ableitungsfunktion f’ einer Funktion f erleichtern. Ableitungen spezieller Funktionen (1) Ableitung einer konstanten Funktion: f (x) = c w f’ (x) = 0 (2) Ableitung einer Potenzfunktion: f (x) = xn w f’ (x) = n · xn – 1 (x * R, n * N*) f (x) = xr w f’ (x) = r · xr – 1 (x * R+, r * R*) (3) Ableitung einer Quadratwurzelfunktion: f (x) = � _ x w f’ (x) = 1 _ 2 � _ x (x * R+) (4) Ableitung von Winkelfunktionen: f (x) = sin (x) w f’ (x) = cos (x) f (x) = cos (x) w f’ (x) = – sin (x) f (x) = tan (x) w f’ (x) = 1 _ cos2 (x) = 1+tan2 (x) (5) Ableitung von Exponentialfunktionen: f (x) = ex w f’(x) = ex f (x) = ax w f’(x) = ax · ln (a) (a * R+, a ≠ 1) Für die Ableitung einer Summe (Differenz) f = g ± h w f’ = g’ ± h’ von Funktionen gilt: f = f 1 ± f 2 ±…±fn w f’ = f 1 ’ ± f 2 ’ ±…±f n ’ Wenn fortlaufendes Differenzieren möglich ist, kann man ausgehend von f die höheren Ableitungen von f bilden: f’ (erste Ableitung von f), f’’ (zweite Ableitung von f), f’’’ (dritte Ableitung von f) usw. Differenzierbarkeit R Die Ableitung f’ (x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) _ z – x muss nicht immer existieren. BEISPIEL Man kann zeigen, dass die Ableitung der nebenstehend dargestellten Funktion f mit f (x) = †x† an der Stelle 0 nicht existiert (siehe Mathematik verstehen 7, Seite 161 –167). Der Graph von f besitzt daher an der Stelle 0 auch keine Tangente. Definition Eine reelle Funktion f: A ¥ R heißt (1) an der Stelle p * A differenzierbar, wenn f’ (p) = lim z ¥ p f(z) – f(p) _ z – p existiert. (2) differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle p * A differenzierbar ist. Folgende Funktionen sind in ihrem größtmöglichen Definitionsbereich differenzierbar: Potenzfunktionen, Polynomfunktionen, rationale Funktionen, Winkelfunktionen, Exponentialfunktionen. 0 1 x –1 1 f f(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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