151 9.3 Analysis Satz Ist eine reelle Funktion f: A ¥ R an einer Stelle p * A differenzierbar, dann ist f an der Stelle p stetig. Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Gegenbeispiel: Die Funktion f mit f (x) = †x† ist an der Stelle 0 stetig, aber nicht differenzierbar. Monotonie, lokale Extremstellen und Ableitung R Satz (Monotoniesatz) Die reelle Funktion f sei differenzierbar im Intervall I. (1) Ist f’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I, dann ist f streng monoton steigend in I. (2) Ist f’(x) < 0 für alle inneren Stellen x * I, dann ist f streng monoton fallend in I. Durch die Nullstellen von f’ wird der Definitionsbereich von f in die Monotonieintervalle (Monotoniebereiche) zerlegt (sofern f’ stetig ist). In diesen Intervallen ist f jeweils streng monoton. Um die Art der Monotonie in einem Monotonieintervall I festzustellen, genügt es, das Vorzeichen von f’ an einer beliebigen inneren Stelle p * I zu ermitteln. Satz (Notwendige Bedingung für lokale Extremstellen) Sei f: A ¥ R differenzierbar. Ist p eine lokale Extremstelle von f, dann ist f’(p) = 0. Satz (Hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen) Sei f eine in einem Intervall I definierte zweimal differenzierbare reelle Funktion mit stetiger zweiter Ableitung und p eine innere Stelle von I. Dann gilt: (1) Ist f’(p) = 0 und f’’ (p) < 0, dann ist p eine lokale Maximumstelle von f. (2) Ist f’(p) = 0 und f’’ (p) > 0, dann ist p eine lokale Minimumstelle von f. Krümmung R Definition Es sei f: A ¥ R eine differenzierbare reelle Funktion und I a A ein Intervall. Die Funktion f heißt • linksgekrümmt in I, wenn f’ streng monoton steigend in I ist, • rechtsgekrümmt in I, wenn f’ streng monoton fallend in I ist, • einheitlich gekrümmt in I, wenn f in I entweder linksgekrümmt oder rechtsgekrümmt ist. Satz (Krümmungssatz) Die reelle Funktion f sei zweimal differenzierbar im Intervall I. (1) Ist f’’ (x) > 0 für alle inneren Stellen x * I, dann ist f linksgekrümmt in I. (2) Ist f’’ (x) < 0 für alle inneren Stellen x * I, dann ist f rechtsgekrümmt in I. Durch die Nullstellen von f’’ wird der Definitionsbereich von f in die Krümmungsintervalle (Krümmungsbereiche) zerlegt (sofern f’’ stetig ist). In diesen Intervallen ist f jeweils einheitlich gekrümmt. Um die Art der Krümmung in einem Krümmungsintervall I festzustellen, genügt es, das Vorzeichen von f’’ an einer beliebigen inneren Stelle p * I zu ermitteln. f l f l linksgekrümmt rechtsgekrümmt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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