152 9 KOMPENDIUM FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Wendestellen R Definition Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt Wendestelle von f, wenn sich an der Stelle p das Krümmungsverhalten von f ändert. Der Punkt (p 1 f (p)) heißt Wendepunkt des Graphen von f, die Tangente an den Graphen in diesem Punkt heißt Wendetangente. Satz (Notwendige Bedingung für Wendestellen) Sei f: A ¥ R zweimal differenzierbar. Ist p eine Wendestelle von f, dann ist f’’ (p) = 0. Satz (Hinreichende Bedingung für Wendestellen) Sei f eine in einem Intervall I definierte dreimal differenzierbare reelle Funktion mit stetiger dritter Ableitung und p eine innere Stelle von I. Dann gilt: Ist f’’ (p) = 0 und f’’’ (p) ≠ 0, dann ist p eine Wendestelle von f. Für eine Polynomfunktion f vom Grad º 2 folgt aus der Definition: p ist eine Wendestelle von f É p ist eine lokale Extremstelle von f’ Stammfunktionen R Definition Sind f und F Funktionen mit derselben Definitionsmenge A und gilt F’ (x) = f (x) für alle x * A, dann nennt man F eine Stammfunktion von f. Ist F0 eine Stammfunktion von f, dann ist auch F0 + c (mit c * R) eine Stammfunktion von f. Ist die Definitionsmenge von f ein Intervall, dann hat man mit den Funktionen F0 + c (mit c * R) bereits alle Stammfunktionen von f gefunden. Funktion eine Stammfunktion f(x) = k (mit k * R) F (x) = k · x f (x) = xr (mit r * R*, r ≠ – 1) F (x) = x r + 1 _ r + 1 f (x) = sin (x) F(x) = –cos (x) f (x) = cos (x) F (x) = sin (x) f (x) = ex F (x) = ex f (x) = ax (mit a * R+, a ≠ 1) F (x) = a x _ ln (a) f (x) = 1 _ x (mit x * R+) F(x) = ln (x) Satz Sind F und G Stammfunktionen von f bzw. g, dann gilt: (1) F + G ist eine Stammfunktion von f + g. (2) k · F ist eine Stammfunktion von k · f (wobei k * R). Satz Ist die reelle Funktion f auf einem Intervall I definiert und ist f’ (x) = 0 für alle x * I, dann ist f eine konstante Funktion. f Wendetangente Wendepunkt Wendestelle p f (p) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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